114學年鷺江國中第3次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把公式解寫成含 $k$ 的樣子

   $12x^2+20x+k=0$ 的係數是 $a=12$、$b=20$、$c=k$，套公式解得 $x=\dfrac{-20\pm\sqrt{20^2-4\times 12\times k}}{2\times 12}=\dfrac{-20\pm\sqrt{400-48k}}{24}$。題目已經把兩根長什麼樣子告訴我們了，只要讓這兩個式子對得起來就能反推 $k$。
2. 2

   把題目給的兩根通分成同分母

   題目給的兩根是 $\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$，分母是 $6$，而我們算出來的分母是 $24$。把前者分子分母同乘 $4$：$\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{6}=\dfrac{4\times(-5)\pm 4\sqrt{13}}{24}=\dfrac{-20\pm 4\sqrt{13}}{24}$。分母一致後，分子的 $-20$ 也剛好對上，代表方向正確。
3. 3

   比對根號部分並平方

   兩邊分母同為 $24$、常數部分同為 $-20$，所以根號部分必須相等：$\sqrt{400-48k}=4\sqrt{13}$。兩邊平方時，外面的 $4$ 也要一起平方：$(4\sqrt{13})^2=4^2\times 13=16\times 13=208$。於是 $400-48k=208$。
4. 4

   解出 $k$ 並驗算

   由 $400-48k=208$ 得 $48k=400-208=192$，所以 $k=\dfrac{192}{48}=4$。驗算：$k=4$ 時判別式 $=400-48\times 4=208$，而 $\sqrt{208}=\sqrt{16\times 13}=4\sqrt{13}$，兩根為 $\dfrac{-20\pm 4\sqrt{13}}{24}=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$，和題目一模一樣。最容易失手的地方是平方時只平方根號內、忘了外面的 $4$，寫成 $400-48k=52$，那會解出 $k=\dfrac{348}{48}=\dfrac{29}{4}$，一個不上不下的分數，就知道漏了步驟。所以 $k=4$。

關鍵觀念：#公式解 #根與係數關係

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