114學年鷺江國中第3次段考數學 第17題 詳解

答案$\dfrac{46}{9}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   從係數讀出兩根和與兩根積

   兩根是 $a$ 和 $b$，所以方程式可寫成 $(x-a)(x-b)=0$，展開得 $x^2-(a+b)x+ab=0$。把它和 $x^2-8x+9=0$ 逐項對照：$-(a+b)=-8$，所以 $a+b=8$；$ab=9$。整題只需要這兩個數，不必真的把根算出來。
2. 2

   先把要求的式子通分

   $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ 的公分母是 $ab$，通分得 $\dfrac{a\times a}{ab}+\dfrac{b\times b}{ab}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}$。分母 $ab=9$ 已經知道了，剩下要處理的是分子 $a^2+b^2$。
3. 3

   用平方公式湊出 $a^2+b^2$

   由乘法公式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，移項得 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。代入 $a+b=8$、$ab=9$：$a^2+b^2=8^2-2\times 9=64-18=46$。
4. 4

   動手驗算一次

   判別式 $=(-8)^2-4\times 1\times 9=64-36=28>0$，確實有兩個相異的根：$x=\dfrac{8\pm\sqrt{28}}{2}=\dfrac{8\pm 2\sqrt{7}}{2}=4\pm\sqrt{7}$。檢查 $(4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})=8$、$(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9$，和前面讀出的兩根和、兩根積完全相符。
5. 5

   組合出答案

   $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}=\dfrac{46}{9}$。$46=2\times 23$、$9=3^2$，沒有公因數，$\dfrac{46}{9}$ 已是最簡分數。兩個常見誤算要避開：把 $a^2+b^2$ 直接寫成 $(a+b)^2=64$，會得到 $\dfrac{64}{9}$；或把 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ 誤通分成 $\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{8}{9}$，那是把分子相加卻沒乘上對應的分母。所以答案為 $\dfrac{46}{9}$。

關鍵觀念：#公式解 #根與係數關係

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