114學年鷺江國中第3次段考數學 第3題 詳解

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逐步解析

1. 1

   回到乘積為零的性質

   課本的說法是：兩個數相乘等於 $0$，則這兩個數之中「至少有一個」是 $0$。寫成數學語言就是「若 $AB=0$，則 $A=0$ 或 $B=0$」。這裡的「或」包含三種情況：只有 $A$ 是 $0$、只有 $B$ 是 $0$、兩個都是 $0$。
2. 2

   用反例刷掉只講一半的選項

   (A) 說 $A=0$ 一定成立。可是取 $A=5$、$B=0$，此時 $AB=5\times 0=0$ 成立，但 $A=5$ 不是 $0$，所以 (A) 不一定對。(B) 說 $B=0$ 一定成立，同樣取 $A=0$、$B=7$，$AB=0$ 成立而 $B\neq 0$，所以 (B) 也不一定對。
3. 3

   「且」比「或」嚴格太多

   (C) 要求 $A$ 和 $B$ 兩個都是 $0$。同樣用 $A=0$、$B=7$ 這個例子，$AB=0$ 確實成立，但 $B=7$ 並不是 $0$，所以「兩個都是 $0$」不成立。只要找得到一個反例，(C) 就不能說「一定正確」。
4. 4

   只有「或」滴水不漏

   反過來檢查 (D)：只要 $AB=0$，$A$ 和 $B$ 不可能兩個都不是 $0$（兩個非零的數相乘一定不是 $0$），所以一定至少有一個是 $0$，也就是「$A=0$ 或 $B=0$」，沒有反例。這正是我們解 $(x-3)(x+1)=0$ 時，拆成 $x-3=0$ 或 $x+1=0$ 的依據。故選 (D)。

關鍵觀念：#乘積為零的性質