114學年鷺江國中第3次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

1. 1

   等長的弦推出正三角形

   圖中 $\triangle ABC$ 內接於圓 $O$（$A$ 在上、$B$ 在左下、$C$ 在右下），圓心 $O$ 標在三角形內部。題目說三條弦 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 等長，而這三條弦正是三角形的三邊，所以 $\triangle ABC$ 是正三角形，圓 $O$ 就是它的外接圓、$O$ 就是它的外心。
2. 2

   正三角形的外心也是重心

   正三角形的外心、內心、重心通通重合在同一點，所以 $O$ 同時是 $\triangle ABC$ 的重心。直徑為 $14$，所以半徑 $\overline{OA}=\frac{14}{2}=7$。
3. 3

   用重心的二比一求出高

   設 $\overline{AM}$ 是從 $A$ 到 $\overline{BC}$ 中點 $M$ 的中線，在正三角形中它同時是高。重心到頂點的距離是中線的 $\frac23$，即 $\overline{AO}=\frac23\overline{AM}$。由 $\frac23\overline{AM}=7$ 得 $\overline{AM}=\frac{21}{2}$。
4. 4

   由高反推邊長

   設邊長為 $a$。$M$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，$\overline{BM}=\frac{a}{2}$，在直角 $\triangle ABM$ 中由畢氏定理：$\overline{AM}^2=a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac34 a^2$，所以 $\overline{AM}=\frac{\sqrt3}{2}a$。由 $\frac{\sqrt3}{2}a=\frac{21}{2}$ 得 $a=\frac{21}{\sqrt3}=\frac{21\sqrt3}{3}=7\sqrt3$。
5. 5

   算出面積

   $\triangle ABC=\frac12\times\overline{BC}\times\overline{AM}=\frac12\times 7\sqrt3\times\frac{21}{2}=\frac{147\sqrt3}{4}$，故選 (D)。

關鍵觀念：#圓內接三角形 #等長弦 #正三角形面積