114學年鷺江國中第3次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先鎖定外心的 x 坐標

   圖中 $C$ 落在 $y$ 軸上、$A$ 在 $x$ 軸負側、$B$ 在 $x$ 軸正側。外心到三頂點等距離，所以它必在 $\overline{AB}$ 的中垂線上。$A(-7,0)$ 與 $B(7,0)$ 關於 $y$ 軸對稱，$\overline{AB}$ 的中垂線正是 $y$ 軸，因此外心的 $x=0$。
2. 2

   列出到 A 與到 C 等距的式子

   設外心為 $P(0,y)$。用距離公式算平方：$\overline{PA}^2=(0-(-7))^2+(y-0)^2=49+y^2$；$\overline{PC}^2=(0-0)^2+(y-5)^2=(y-5)^2$。外心到三頂點等距，所以 $49+y^2=(y-5)^2$。
3. 3

   解出 y

   展開右式：$49+y^2=y^2-10y+25$，兩邊消去 $y^2$ 得 $49=-10y+25$，移項得 $10y=25-49=-24$，所以 $y=-\frac{24}{10}=-\frac{12}{5}$。外心 $P\left(0,-\frac{12}{5}\right)$ 落在 $x$ 軸下方，這和 $\angle C$ 是鈍角、外心跑到三角形外部是一致的。
4. 4

   代入所求的式子

   $x-5y=0-5\times\left(-\frac{12}{5}\right)=0+12=12$，故選 (D)。

關鍵觀念：#外心 #直角坐標系

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