114學年鷺江國中第3次段考數學 第19題 詳解

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先算出三角形的三邊長

   圖中 $O$ 在原點、$A$ 在第一象限、$B$ 在 $x$ 軸正向上。$\overline{OB}=6$；用距離公式 $\overline{OA}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$；$\overline{AB}=\sqrt{(6-3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$。
2. 2

   發現這是等腰三角形，定出 x 坐標

   $\overline{OA}=\overline{AB}=5$，所以 $\triangle OAB$ 是以 $A$ 為頂角的等腰三角形。等腰三角形頂角的角平分線同時是底邊的中垂線，內心一定落在這條線上；底邊 $\overline{OB}$ 兩端點是 $(0,0)$ 與 $(6,0)$，中垂線就是鉛直線 $x=\frac{0+6}{2}=3$。所以內心的 $x$ 坐標是 $3$。
3. 3

   用面積與半周長求內切圓半徑

   以 $\overline{OB}$ 為底，底長 $6$，高就是 $A$ 的 $y$ 坐標 $4$，所以 $\triangle OAB=\frac12\times 6\times 4=12$。半周長 $s=\frac{5+6+5}{2}=8$。由「三角形面積 $=r\times s$」得 $12=r\times 8$，所以 $r=\frac{12}{8}=\frac32$。
4. 4

   把半徑轉成 y 坐標

   邊 $\overline{OB}$ 躺在 $x$ 軸上，而內心到每一邊的距離都等於內切圓半徑，所以內心到 $x$ 軸的距離就是 $r=\frac32$，也就是內心的 $y$ 坐標。因此 $\triangle OAB$ 的內心坐標為 $\left(3,\frac32\right)$，故選 (A)。

關鍵觀念：#內心 #直角坐標系

同主題一起複習：平面幾何 →