114學年鷺江國中第3次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把注意力搬到三角形 BCF

   圖中 $A$ 在上方、$B$ 在左下、$C$ 在右下；$\overline{CF}$ 是 $\overline{AB}$ 邊上的高，垂足 $F$ 在 $\overline{AB}$ 上（有直角記號）；$\overline{BE}$ 是 $\overline{AC}$ 邊上的高，垂足 $E$ 在 $\overline{AC}$ 上；$D$ 是 $\overline{BC}$ 的中點。題目問的是 $D$ 對 $\triangle BCF$ 而言是什麼心，所以只要盯著 $B$、$C$、$F$ 這三點組成的三角形看。
2. 2

   在這個三角形裡找出直角

   $\overline{CF}$ 是 $\overline{AB}$ 邊上的高，表示 $\overline{CF}\perp\overline{AB}$，所以 $\angle BFC=90^\circ$。也就是說 $\triangle BCF$ 是一個直角三角形，直角在 $F$，而 $\overline{BC}$ 就是它的斜邊。
3. 3

   用直角三角形外心的性質

   直角三角形的外心就是斜邊的中點。$D$ 正好是斜邊 $\overline{BC}$ 的中點，所以 $\overline{DB}=\overline{DC}=\overline{DF}$，$D$ 到 $\triangle BCF$ 三個頂點等距離，符合外心的定義，故選 (B)。
4. 4

   順手排除另外兩個心

   內心與重心都一定落在三角形「內部」，但 $D$ 落在 $\triangle BCF$ 的邊 $\overline{BC}$ 上，所以兩者都不可能。另外要注意，重心是三條中線的「交點」，單單是某一邊的中點並不會自動變成重心。

關鍵觀念：#高 #外心 #中點

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