114學年鷺江國中第3次段考數學 第15題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先定出 G 在中線上的位置

   圖中 $C$ 在最上方、$A$ 在左下、$B$ 在右下，三條中線 $\overline{AD}$、$\overline{BE}$、$\overline{CF}$ 交於重心 $G$，$H$ 落在 $\overline{CF}$ 的延長線上、位於 $\overline{AB}$ 的外側。重心把中線分成 $\overline{CG}:\overline{GF}=2:1$，設 $\overline{GF}=k$，則 $\overline{CG}=2k$。
2. 2

   找出 F 是 GH 的中點

   題目給 $\overline{GH}=\overline{CG}=2k$，而 $H$ 在 $G$ 的另一側。從 $G$ 往 $H$ 走，先走 $\overline{GF}=k$ 到 $F$，再走 $k$ 才到 $H$，所以 $\overline{GF}=\overline{FH}=k$，$F$ 正好是 $\overline{GH}$ 的中點。
3. 3

   認出 AHBG 是平行四邊形

   $\overline{CF}$ 是中線，所以 $F$ 也是 $\overline{AB}$ 的中點。於是四邊形 $AHBG$ 的兩條對角線 $\overline{AB}$ 與 $\overline{GH}$ 都被 $F$ 平分，互相平分的四邊形就是平行四邊形。對角線 $\overline{AB}$ 把它分成面積相等的 $\triangle AGB$ 與 $\triangle AHB$。
4. 4

   用重心求出上半塊的面積

   重心連到三個頂點會把 $\triangle ABC$ 分成三塊等面積，所以 $\triangle AGB=\frac13\triangle ABC$。因此四邊形 $AHBG=2\times\triangle AGB=\frac23\triangle ABC$。
5. 5

   解出三角形 ABC

   $\frac23\triangle ABC=96$，所以 $\triangle ABC=96\times\frac32=144$，故選 (A)。

關鍵觀念：#中線 #重心 #面積比

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