114學年鷺江國中第3次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   由外接圓面積求半徑

   外接圓面積 $=\pi R^2=400\pi$，兩邊除以 $\pi$ 得 $R^2=400$，所以 $R=20$。外心到三頂點等距，因此 $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=20$。
2. 2

   讀圖確認位置關係

   圖中 $A$ 在上方頂點、$B$ 在左、$C$ 在右，外心 $O$ 落在 $\overline{BC}$ 下方的三角形外部，且 $A$、$D$、$O$ 三點共線。因為 $\overline{AB}=\overline{AC}$，$A$ 到 $B$、$C$ 等距，$O$ 到 $B$、$C$ 也等距，兩點都在 $\overline{BC}$ 的中垂線上，所以 $\overline{AO}\perp\overline{BC}$，而 $D$ 是 $\overline{BC}$ 的中點。
3. 3

   列出兩個直角三角形的式子

   設 $\overline{AD}=h$、$\overline{BD}=d$。$D$ 在線段 $\overline{AO}$ 上，所以 $\overline{DO}=\overline{AO}-\overline{AD}=20-h$。在直角 $\triangle ABD$：$h^2+d^2=\overline{AB}^2=400$；在直角 $\triangle OBD$：$(20-h)^2+d^2=\overline{OB}^2=400$。
4. 4

   解出高與底邊

   兩式相減得 $h^2-(20-h)^2=0$，即 $h^2=(20-h)^2$，取正值得 $h=20-h$，所以 $h=10$。代回第一式：$d^2=400-10^2=300$，$d=\sqrt{300}=10\sqrt3$，所以 $\overline{BC}=2d=20\sqrt3$。順帶一提，就算把 $\overline{DO}$ 寫成 $h-20$，平方後和 $(20-h)^2$ 一樣，解出來仍是 $h=10$；而 $h=10<20=\overline{AO}$，可見 $O$ 確實落在 $\overline{BC}$ 外側。
5. 5

   算出三角形面積

   $\triangle ABC=\frac12\times\overline{BC}\times\overline{AD}=\frac12\times 20\sqrt3\times 10=100\sqrt3$，故選 (B)。

關鍵觀念：#外心 #等腰三角形 #外接圓面積

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