114學年鷺江國中第1次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   看出 $\triangle ACF$ 的三邊是什麼

   設正方體的邊長為 $a$。由圖可以看出：$A$、$C$ 是上底面的一組對角，$\overline{AC}$ 是上底面正方形的對角線；$C$、$F$ 同在右側面上，$\overline{CF}$ 是右側面正方形的對角線；$A$、$F$ 同在前面上，$\overline{AF}$ 是前面正方形的對角線。三條邊都是正方體某一個面的對角線，沒有一條是稜。
2. 2

   求出三邊長

   正方形邊長為 $a$ 時，由畢氏定理，對角線長 $=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}\,a$。所以 $\overline{AC}=\overline{CF}=\overline{AF}=\sqrt{2}\,a$，$\triangle ACF$ 是一個邊長 $\sqrt{2}\,a$ 的正三角形。
3. 3

   算正三角形的面積

   邊長為 $s$ 的正三角形，作一條高會把底邊平分，由畢氏定理得高 $=\sqrt{s^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}s$，面積 $=\frac{1}{2}\times s\times\frac{\sqrt{3}}{2}s=\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$。這裡 $s=\sqrt{2}\,a$，所以面積 $=\frac{\sqrt{3}}{4}\times(\sqrt{2}\,a)^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2a^2=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。
4. 4

   解出正方體的邊長

   依題意 $\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=4\sqrt{3}$，兩邊同除以 $\sqrt{3}$ 得 $\frac{a^2}{2}=4$，所以 $a^2=8$，$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。$\overline{AB}$ 是正方體的一條稜，長度就是 $a$。故選 (B)。

關鍵觀念：#正方體 #三角形面積 #邊長