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114學年鷺江國中第1次段考數學 第15題 詳解

圓錐側面展開扇形面積 · 單選 · 題目出處：114 學年度第 2 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如下圖，圓錐體底面半徑為9公分，最高點至底面圓心的垂直距離（OA‾\overline{OA}）為12公分，則此圓錐體側面展開的扇形面積為多少平方公分？ (A) 216π216\pi (B) 135π135\pi (C) 108π108\pi (D) 54π54\pi
圓錐示意圖，頂點A在最上方，O為底面圓心（A到O之間標示「12」，並在O處標有直角記號），B在底面圓周右側（O到B標示「9」），底面以虛線畫出橢圓表示圓形底面。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先求圓錐的母線長

    頂點 AA、底面圓心 OO、底面圓周上的一點 BB 構成一個直角三角形，直角在 OO（圖上有直角記號）。已知 AO‾=12\overline{AO}=12、OB‾=9\overline{OB}=9，由畢氏定理得 AB‾=122+92=144+81=225=15\overline{AB}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15（公分）。這條 AB‾\overline{AB} 就是圓錐的母線。
  2. 2

    看懂側面展開後的扇形

    把圓錐的側面沿著一條母線剪開攤平，會得到一個扇形。扇形的半徑就是母線長 15 公分；扇形的弧原本是貼著底面圓繞一圈的，所以弧長等於底面圓的周長 2π×9=18π2\pi\times 9=18\pi（公分）。
  3. 3

    用扇形面積公式計算

    半徑 rr、弧長 ℓ\ell 的扇形，面積 =12×r×ℓ=\frac{1}{2}\times r\times \ell。代入得面積 =12×15×18π=135π=\frac{1}{2}\times 15\times 18\pi=135\pi（平方公分）。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#圓錐 #側面展開圖 #扇形面積

常見卡點
兩個最常見的錯都在「用錯長度」。一是把高 12 當成母線去乘，算成 12×12×18π=108π\frac{1}{2}\times 12\times 18\pi=108\pi 而誤選 (C)；母線是斜的那一條，必須先用畢氏定理算出 15。二是把底面也算了進去：側面積 135π135\pi 加上底面積 π×92=81π\pi\times 9^2=81\pi 剛好是 216π216\pi，正是 (A) 的數字；題目只問「側面展開的扇形面積」，底面圓不能算進來。

還是卡住嗎？

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