114學年鷺江國中第1次段考數學 第21題 詳解

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先理清直角柱的對應關係

   直角柱 $ABCDEF$ 的兩個底面是全等的直角三角形 $ABC$ 與 $DEF$，對應頂點是 $A$ 對 $D$、$B$ 對 $E$、$C$ 對 $F$，所以 $\overline{AB}=\overline{DE}$、$\overline{BC}=\overline{EF}$。三條側稜 $\overline{AD}$、$\overline{BE}$、$\overline{CF}$ 都垂直於兩個底面，長度也相等。
2. 2

   比較 $\angle ACB$ 與 $\angle FDE$

   在直角三角形 $ABC$ 中，直角在 $B$，兩股是 $\overline{AB}$ 與 $\overline{BC}$。因為 $\overline{AB}>\overline{BC}$，由大邊對大角得 $\angle ACB>\angle BAC$；兩個銳角又互餘，和是 $90^\circ$，所以 $\angle ACB>45^\circ$。在直角三角形 $DEF$ 中，直角在 $E$，$\overline{DE}=\overline{AB}>\overline{BC}=\overline{EF}$，所以 $\angle DFE>\angle FDE$，同樣由互餘得 $\angle FDE<45^\circ$。因此 $\angle ACB>45^\circ>\angle FDE$，第一個比較是 $\angle ACB>\angle FDE$。
3. 3

   比較 $\angle BAE$ 與 $\angle ACB$

   側稜 $\overline{BE}$ 垂直於底面 $ABC$，而 $\overline{AB}$ 躺在這個底面上，所以 $\overline{BE}\perp\overline{AB}$，$\triangle ABE$ 是直角在 $B$ 的直角三角形，兩股為 $\overline{AB}$ 與 $\overline{BE}$。因為 $\overline{AB}>\overline{BE}$，大邊對大角得 $\angle AEB>\angle BAE$，再由兩銳角互餘得 $\angle BAE<45^\circ$。
4. 4

   合併兩項結論

   第二步得到 $\angle ACB>45^\circ$，第三步得到 $\angle BAE<45^\circ$，所以 $\angle BAE<45^\circ<\angle ACB$，也就是 $\angle BAE<\angle ACB$。再配上 $\angle ACB>\angle FDE$，兩項敘述都對得上。故選 (C)。

關鍵觀念：#直角柱 #角度比較