114會考數學 第18題 詳解

答案(B) 甲、乙皆錯誤看逐步解析 ↓

逐步解析

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   先看考什麼

   這題考「最大公因數與最小公倍數的性質」，而且不必真的把 $a$、$b$ 找出來。要用的只有兩條最基本的定義：三個數的公因數，一定同時是其中任兩個數的公因數；三個數的公倍數，也一定同時是其中任兩個數的公倍數。抓住這兩句話，甲、乙的說法就能判斷。
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   檢查甲說法

   $a$、$b$、$c$ 三數的最大公因數，必須同時整除 $a$ 和 $b$，所以它是 $a$、$b$ 的公因數。但 $a$、$b$ 的公因數最大就是 $11$，所以三數的最大公因數頂多是 $11$，不管 $c$ 換成什麼正整數都不可能比 $11$ 大。甲的說法錯誤。
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   檢查乙說法

   $a$、$b$、$c$ 三數的最小公倍數，必須同時是 $a$ 和 $b$ 的倍數，所以它是 $a$、$b$ 的公倍數。而 $a$、$b$ 的公倍數就是 $88, 176, 264, \ldots$ 這些 $88$ 的倍數，最小是 $88$。所以三數的最小公倍數至少是 $88$，不可能比 $88$ 小。乙的說法也錯誤。
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   實際驗證

   可以用具體數字驗證：滿足條件的一組是 $a = 11$、$b = 88$。試 $c = 11$：三數的最大公因數是 $11$、最小公倍數是 $88$；試 $c = 22$：最大公因數還是 $11$、最小公倍數還是 $88$。怎麼換 $c$，最大公因數都衝不破 $11$，最小公倍數也降不到 $88$ 以下。
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   確定選項

   甲、乙皆錯誤，故選 (B)。最容易誤選的是 (D)：直覺以為挑一個很小的 $c$（例如 $c = 1$ 或 $c = 11$）就能把最小公倍數拉小，但最小公倍數必須同時是 $88$ 的倍數，$c$ 再小也只是「不把它變大」，永遠無法讓它小於 $88$。

關鍵觀念：#最大公因數 #最小公倍數 #正整數 #倍數與因數