114會考數學 第18題 詳解

最大公因數・最小公倍數 · 單選 · 題目出處：114 年國中教育會考 數學科（國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心）

逐步解析

1. 1

   看懂題目在問什麼

   已知 $a$、$b$ 的最大公因數是 $11$，最小公倍數是 $88$。題目要判斷：把第三個正整數 $c$ 加進來之後，三數的最大公因數會不會比 $11$ 大，三數的最小公倍數會不會比 $88$ 小。這題其實是在考：
   1. 最大公因數是「大家共同都有的最大因數」
   2. 最小公倍數是「大家共同能湊到的最小倍數」
   3. 加入新的數字後，最大公因數只會變小或不變，最小公倍數只會變大或不變
2. 2

   先把 $a$、$b$ 的樣子找出來

   因為 $\gcd(a,b)=11$，所以 $a$、$b$ 都一定是 $11$ 的倍數。設
   $$$a=11x,\quad b=11y$$$
   而且 $x$、$y$ 要互質，因為 $11$ 已經是它們共同的最大公因數了。
   
   再看最小公倍數：
   $$$\operatorname{lcm}(a,b)=88$$$已知兩數有關係：$$$a\times b=\gcd(a,b)\times \operatorname{lcm}(a,b)$$$代入得$$$a\times b=11\times 88=968$$$
   所以 $a$、$b$ 是兩個乘起來等於 $968$，而且最大公因數是 $11$ 的正整數。
   
   直接找一組最方便的：
   $$$a=11,\quad b=88$$$
   因為 $\gcd(11,88)=11$，$\operatorname{lcm}(11,88)=88$，完全符合題意。
3. 3

   判斷甲：三數的最大公因數能不能大於 11

   甲說：$a$、$b$、$c$ 三數的最大公因數可能比 $11$ 大。
   
   但只要 $a$、$b$ 的最大公因數已經是 $11$，就表示 $a$ 和 $b$ 共同擁有的因數最大只能到 $11$。
   如果三數的最大公因數要比 $11$ 大，比如是 $22$，那代表 $22$ 必須同時整除 $a$、$b$、$c$。
   可是這樣 $a$ 和 $b$ 的共同因數就已經超過 $11$ 了，會和題目「$\gcd(a,b)=11$」衝突。
   
   所以三數的最大公因數不可能比 $11$ 大，只能 $\le 11$。甲錯誤。
4. 4

   判斷乙：三數的最小公倍數能不能小於 88

   乙說：$a$、$b$、$c$ 三數的最小公倍數可能比 $88$ 小。
   
   先看 $a$ 和 $b$ 的最小公倍數就是 $88$，表示 $88$ 已經是同時被 $a$、$b$ 整除的最小正整數。
   現在再加入 $c$，三數的最小公倍數必須同時被 $a$、$b$、$c$ 整除。
   因為它至少要能被 $a$ 和 $b$ 整除，所以它一定要是 $a$、$b$ 的公倍數；而 $a$、$b$ 的最小公倍數已經是 $88$，因此三數的最小公倍數不可能小於 $88$。
   
   也就是說，加入新的數字後，最小公倍數只會維持 $88$ 或變大，不會變小。乙錯誤。
5. 5

   對照選項得答案

   甲錯誤，乙也錯誤，所以正確選項是
   $$$\text{(B) 甲、乙皆錯誤}$$

關鍵觀念：#最大公因數 #最小公倍數 #正整數 #倍數與因數