114會考數學 第25題 詳解

齒輪比・約分 · 單選 · 題目出處：114 年國中教育會考 數學科（國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心）

逐步解析

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   看懂題意

   這題在考「不同齒輪組合，可能得到同一個齒輪比」。所以我們不能只看分子分母原來是多少，而是要把每個比值先約成最簡分數，找出哪些組合會變成同一個結果。題目給的前齒輪有 $22,33,44$ 齒，後齒輪有 $14,16,18,21,24,28$ 齒，齒輪比定義是 $\dfrac{\text{前齒輪齒數}}{\text{後齒輪齒數}}$。
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   把選項都翻成組合

   題目問哪一個齒輪比有「最多種組合」，意思是：在所有前齒輪和後齒輪的搭配中，哪個最簡分數會出現最多次。因為選項都長得像 $\dfrac{11}{\,\text{分母}\,}$，所以我們先想：前齒輪三個數 $22,33,44$ 都可以寫成 $11\times 2,11\times 3,11\times 4$。這表示每個比都能先提出 $11$，再看能不能跟後齒輪一起約掉。
3. 3

   逐個檢查會變成誰

   我們把前後齒輪各組合列出來，直接約分看結果。
   
   前齒輪 $22$：
   $\dfrac{22}{14}=\dfrac{11}{7}$，$\dfrac{22}{16}=\dfrac{11}{8}$，$\dfrac{22}{18}=\dfrac{11}{9}$，$\dfrac{22}{21}$ 不能約成選項，$\dfrac{22}{24}=\dfrac{11}{12}$，$\dfrac{22}{28}=\dfrac{11}{14}$。
   
   前齒輪 $33$：
   $\dfrac{33}{14}$ 不能約成選項，$\dfrac{33}{16}$ 不能約成選項，$\dfrac{33}{18}=\dfrac{11}{6}$，$\dfrac{33}{21}=\dfrac{11}{7}$，$\dfrac{33}{24}=\dfrac{11}{8}$，$\dfrac{33}{28}$ 不能約成選項。
   
   前齒輪 $44$：
   $\dfrac{44}{14}=\dfrac{22}{7}$，$\dfrac{44}{16}=\dfrac{11}{4}$，$\dfrac{44}{18}=\dfrac{22}{9}$，$\dfrac{44}{21}$ 不能約成選項，$\dfrac{44}{24}=\dfrac{11}{6}$，$\dfrac{44}{28}=\dfrac{11}{7}$。
4. 4

   統計各選項次數

   接著數每個選項出現幾次：
   - (A) $\dfrac{11}{6}$ 出現 $2$ 次：$\dfrac{33}{18}$、$\dfrac{44}{24}$。
   - (B) $\dfrac{11}{7}$ 出現 $3$ 次：$\dfrac{22}{14}$、$\dfrac{33}{21}$、$\dfrac{44}{28}$。
   - (C) $\dfrac{11}{8}$ 出現 $2$ 次：$\dfrac{22}{16}$、$\dfrac{33}{24}$。
   - (D) $\dfrac{11}{9}$ 出現 $1$ 次：$\dfrac{22}{18}$。
   所以最多種組合的是 $\dfrac{11}{7}$。
5. 5

   對照官方答案

   因此答案選 (B) $\dfrac{11}{7}$。如果再用更快的方法看：要得到 $\dfrac{11}{7}$，前齒輪和後齒輪要同時能除以 $2$，變成 $\dfrac{22}{14}$；或同時能除以 $3$，變成 $\dfrac{33}{21}$；或同時能除以 $4$，變成 $\dfrac{44}{28}$。剛好三種組合，確實最多。

關鍵觀念：#比與比例 #分數約分 #質因數分解