114會考數學 第25題 詳解

答案(B) $\dfrac{11}{7}$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   先看考什麼

   這題考「約分與有系統的列舉」。先觀察一個好用的特徵：三種前齒輪 $22 = 11 \times 2$、$33 = 11 \times 3$、$44 = 11 \times 4$ 都是 $11$ 的倍數，而四個選項的分子都是 $11$。所以與其把 $18$ 種組合全部約分，不如反過來問：要約成某個選項的比，前齒輪配 $22$、$33$、$44$ 時，後齒輪各該是多少？再檢查那個數在不在清單 $14, 16, 18, 21, 24, 28$ 裡。
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   檢查11比7

   齒輪比 $\dfrac{11}{7}$ 表示後齒輪是前齒輪的 $\dfrac{7}{11}$ 倍。前齒輪 $22$ 要配後齒輪 $14$、前齒輪 $33$ 要配 $21$、前齒輪 $44$ 要配 $28$——而 $14$、$21$、$28$ 三個全部都在後齒輪清單裡。所以 $\dfrac{22}{14} = \dfrac{33}{21} = \dfrac{44}{28} = \dfrac{11}{7}$，共有 $3$ 種組合。
3. 3

   檢查其他項

   同樣的方法檢查其餘選項。$\dfrac{11}{6}$：需要後齒輪 $12$、$18$、$24$，清單裡只有 $18$ 和 $24$（沒有 $12$），即 $\dfrac{33}{18}$ 與 $\dfrac{44}{24}$，共 $2$ 種。$\dfrac{11}{8}$：需要 $16$、$24$、$32$，只有 $16$ 和 $24$（沒有 $32$），即 $\dfrac{22}{16}$ 與 $\dfrac{33}{24}$，共 $2$ 種。$\dfrac{11}{9}$：需要 $18$、$27$、$36$，只有 $18$，即 $\dfrac{22}{18}$，僅 $1$ 種。
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   確定選項

   組合數比較：$\dfrac{11}{7}$ 有 $3$ 種，其餘至多 $2$ 種，故選 (B)。最容易錯的地方是漏數：$\dfrac{44}{28}$ 約分後也是 $\dfrac{11}{7}$，只憑印象列舉的人常常漏掉它，把 $\dfrac{11}{7}$ 數成 $2$ 種，就分不出誰最多而亂選。

關鍵觀念：#比與比例 #分數約分 #質因數分解