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108學年鷺江國中第1次段考數學 第8題 詳解

直角三角形母子相似求邊長 · 單選 · 題目出處：108 學年度第 1 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖，直角△ABC\triangle ABC中，∠BAC=90°\angle BAC=90°，AD‾\overline{AD}為BC‾\overline{BC}上的高，若AD‾=4\overline{AD}=4、CD‾=2\overline{CD}=2，則AB‾\overline{AB}的長度為(A)424\sqrt{2}　(B)8　(C)454\sqrt{5}　(D)464\sqrt{6}。
一個直角三角形ABC，A在頂端（∠BAC=90°，A處標有直角記號）、B在左下、C在右下。D在BC上（介於B、C之間，偏靠C側），AD為A到BC的高，D處也標有直角記號。AD將三角形分成左側較大、淺色網底的三角形ABD，與右側較小、深色網底的三角形ACD。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    認出母子相似的三兄弟

    ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ 且 AD‾\overline{AD} 是斜邊 BC‾\overline{BC} 上的高，這時 △ABD\triangle ABD、△CAD\triangle CAD、△CBA\triangle CBA 三個三角形兩兩相似，也就是常說的母子相似。
  2. 2

    用高求出 BD

    由 △ABD∼△CAD\triangle ABD\sim\triangle CAD 得 AD‾:CD‾=BD‾:AD‾\overline{AD}:\overline{CD}=\overline{BD}:\overline{AD}，也就是 AD‾2=BD‾×CD‾\overline{AD}^2=\overline{BD}\times\overline{CD}。代入 42=BD‾×24^2=\overline{BD}\times 2，得 BD‾=16÷2=8\overline{BD}=16\div 2=8。
  3. 3

    用畢氏定理求 AB

    △ABD\triangle ABD 中 ∠ADB=90∘\angle ADB=90^\circ，所以 AB‾2=AD‾2+BD‾2=42+82=16+64=80\overline{AB}^2=\overline{AD}^2+\overline{BD}^2=4^2+8^2=16+64=80。
  4. 4

    開根號並作答

    AB‾=80=16×5=45\overline{AB}=\sqrt{80}=\sqrt{16\times 5}=4\sqrt{5}。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#直角三角形 #高 #相似三角形 #幾何平均

常見卡點
直角三角形被斜邊上的高切開後，AD‾2=BD‾×CD‾\overline{AD}^2=\overline{BD}\times\overline{CD}，先由 42=BD‾×24^2=\overline{BD}\times 2 得 BD‾=8\overline{BD}=8。最常見的錯就是算到這裡停手，把 88 當成答案而選 (B)，但 88 是 BD‾\overline{BD} 不是 AB‾\overline{AB}。另一個坑是把兩段配錯：和 AD‾\overline{AD} 搭配的是 BD‾\overline{BD} 與 CD‾\overline{CD}，和 AB‾\overline{AB} 搭配的才是 BD‾\overline{BD} 與 BC‾\overline{BC}。

還是卡住嗎？

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