108學年鷺江國中第2次段考數學 第12題 詳解

逐步解析

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   迷宮只有一條路

   入口在左上角外側、出口在右下角外側。這座迷宮是「任兩格之間只有一條通路」的類型，所以從入口走到出口的路徑唯一，沿途經過哪些數字也就固定了。實際畫的時候，遇到岔路先挑一邊走，撞到死巷就退回來換另一邊；題目要填七個空格，代表路徑上剛好經過七個數字。
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   甲：路徑怎麼走

   把迷宮看成 $16\times16$ 的方格，用「第 $m$ 排第 $n$ 格」表示從上往下第 $m$ 排、從左往右第 $n$ 格。從入口（第 $1$ 排第 $1$ 格）進來後：右 $1$、下 $2$、左 $1$、下 $2$、右 $3$、上 $1$、右 $5$，到第 $4$ 排第 $9$ 格的 $\sqrt2$；再下 $1$、左 $4$、下 $2$、左 $2$、下 $2$，到第 $9$ 排第 $3$ 格的 $\sqrt9$；接著沿通道一路往右繞到第 $9$ 排第 $9$ 格的 $\sqrt{12}$；再繞向最右側，經第 $8$ 排第 $15$ 格的 $\sqrt6$，往下到第 $11$ 排第 $15$ 格的 $\sqrt3$；然後折返回中央上方，碰到第 $7$ 排第 $8$ 格的 $-\sqrt{15}$；最後往右下角走，經第 $15$ 排第 $14$ 格的 $-\sqrt5$，由右側出口離開。把這串通道連起來就是最短路徑。
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   乙：七格填什麼

   依序經過的七個數是 $\sqrt2$、$\sqrt9$、$\sqrt{12}$、$\sqrt6$、$\sqrt3$、$-\sqrt{15}$、$-\sqrt5$，照題目格式填入即得 $\sqrt2\times\sqrt9-\sqrt{12}\div\sqrt6+\sqrt3+(-\sqrt{15})\times(-\sqrt5)$。負的數要加括號，才不會和前面的運算符號黏在一起。圖中的 $4\sqrt2$、$\sqrt8$、$-\sqrt7$、$\sqrt5$、$-\sqrt6$、$3\sqrt3$、$-\sqrt3$、$-\sqrt{25}$ 都落在死巷或岔路上，一個都不能填。
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   先算乘除

   依「先乘除後加減」，三個乘除要先做完：$\sqrt2\times\sqrt9=\sqrt2\times3=3\sqrt2$；$\sqrt{12}\div\sqrt6=\sqrt{\dfrac{12}6}=\sqrt2$；$(-\sqrt{15})\times(-\sqrt5)=+\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt3$（負負得正）。
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   再算加減

   代回原式：$3\sqrt2-\sqrt2+\sqrt3+5\sqrt3$。只有根號內相同的才能合併：$3\sqrt2-\sqrt2=2\sqrt2$、$\sqrt3+5\sqrt3=6\sqrt3$。
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   最後答案

   所以最後答案是 $2\sqrt2+6\sqrt3$。$\sqrt2$ 與 $\sqrt3$ 根號內不同，不能再合併，這已經是最簡結果。（檢查：$2\sqrt2\approx2.83$、$6\sqrt3\approx10.39$，合計約 $13.2$。）

關鍵觀念：#根式化簡 #四則運算