108學年鷺江國中第2次段考數學 第11題 詳解

逐步解析

1. 1

   作高切成兩半

   從頂點 $A$ 向 $\overline{BC}$ 作垂線，垂足為 $D$。正三角形左右對稱，這條高會把底邊平分，所以 $\overline{BD}=\overline{DC}=\dfrac{20}2=10$。
2. 2

   畢氏定理求高

   在直角三角形 $ABD$ 中，斜邊是 $\overline{AB}=20$，一股是 $\overline{BD}=10$，另一股就是高 $\overline{AD}$。由畢氏定理 $\overline{AD}^2=20^2-10^2=400-100=300$，所以 $\overline{AD}=\sqrt{300}=\sqrt{100\times3}=10\sqrt3$。
3. 3

   算面積

   以 $\overline{BC}$ 為底、$\overline{AD}$ 為高：$\triangle ABC$ 面積 $=\dfrac12\times20\times10\sqrt3=100\sqrt3$。
4. 4

   結論與檢查

   取 $\sqrt3\approx1.73$，面積約 $173$。邊長 $20$ 的正方形面積是 $400$，正三角形塞在裡面應該明顯小一些，$173$ 的量級合理。故 $\triangle ABC$ 的面積為 $100\sqrt3$。

關鍵觀念：#畢氏定理 #正三角形面積

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