108學年鷺江國中第3次段考數學 第1題 詳解

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逐步解析

1. 1

   分清楚誰是斜邊

   題目說 $a$ 是斜邊，所以另外兩邊 $8$ 與 $b$ 是兩股。由畢氏定理：$8^2+b^2=a^2$，移項整理成 $a^2-b^2=64$。
2. 2

   差的平方拆因數

   $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，所以 $(a+b)\times(a-b)=64$。$a$、$b$ 都是正整數，$(a+b)$ 與 $(a-b)$ 都是整數，而且它們相乘等於 $64$，這就表示 $(a+b)$ 一定是 $64$ 的因數。
3. 3

   檢查整數解

   $(a+b)$ 與 $(a-b)$ 一定同為奇數或同為偶數，而乘積 $64$ 是偶數，所以兩個都得是偶數。可能的拆法有：$(a+b,a-b)=(32,2)$ 得 $a=17$、$b=15$；$(16,4)$ 得 $a=10$、$b=6$；$(8,8)$ 會得到 $b=0$，不是正整數，不合。所以 $a+b$ 只可能是 $32$ 或 $16$。
4. 4

   對照四個選項

   $32$ 與 $16$ 都能整除 $64$。至於其他三個數：$24\div16$、$36\div16$、$42\div16$ 都不是整數，$32$ 更不可能整除它們。只有 $64$ 能同時被 $32$ 和 $16$ 整除。故選 (D)。

關鍵觀念：#畢氏定理 #整數解

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