108學年鷺江國中第3次段考數學 第11題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先算梯形的對角線

   等腰梯形 $ABCD$ 中 $\overline{AD}=11$、$\overline{BC}=25$、$\overline{AB}=\overline{CD}=25$。由 $A$、$D$ 向 $\overline{BC}$ 作垂足，左右各多出 $(25-11)\div2=7$，所以梯形的高 $=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$。對角線 $\overline{AC}$ 的水平位移是 $7+11=18$，鉛直位移是 $24$，所以 $\overline{AC}=\sqrt{18^2+24^2}=\sqrt{900}=30$，等腰梯形兩對角線等長，$\overline{BD}$ 也是 $30$。
2. 2

   EFGH 各邊是什麼

   $E$、$F$、$G$、$H$ 依序是 $\overline{AD}$、$\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$ 的中點。在 $\triangle ABD$ 中，$E$、$F$ 是 $\overline{AD}$、$\overline{AB}$ 的中點，由中點連線定理 $\overline{EF}=\frac{1}{2}\overline{BD}$；同理在 $\triangle BCD$ 中 $\overline{GH}=\frac{1}{2}\overline{BD}$，在 $\triangle ABC$ 中 $\overline{FG}=\frac{1}{2}\overline{AC}$，在 $\triangle ACD$ 中 $\overline{HE}=\frac{1}{2}\overline{AC}$。
3. 3

   算 EFGH 的周長

   周長 $=\overline{EF}+\overline{FG}+\overline{GH}+\overline{HE}=\overline{BD}+\overline{AC}=30+30=60$。
4. 4

   EPGQ 各邊是什麼

   $P$、$Q$ 分別是對角線 $\overline{BD}$、$\overline{AC}$ 的中點。在 $\triangle ABD$ 中 $E$、$P$ 是 $\overline{AD}$、$\overline{BD}$ 的中點，所以 $\overline{EP}=\frac{1}{2}\overline{AB}$；在 $\triangle BCD$ 中 $\overline{PG}=\frac{1}{2}\overline{CD}$；在 $\triangle ABC$ 中 $\overline{GQ}=\frac{1}{2}\overline{AB}$；在 $\triangle ACD$ 中 $\overline{QE}=\frac{1}{2}\overline{CD}$。因為 $\overline{AB}=\overline{CD}=25$，四邊都等於 $12.5$，$EPGQ$ 是菱形。
5. 5

   兩個周長相加

   $EPGQ$ 的周長 $=4\times12.5=50$。所求 $=60+50=110$。

關鍵觀念：#中點四邊形 #梯形 #中點連線定理