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108學年鷺江國中第3次段考數學 第12題 詳解

中線垂足求DH · 填充 · 題目出處：108 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，AD‾\overline{AD}是△ABC\triangle ABC的中線，HH點在AC‾\overline{AC}上且BH‾⊥AC‾\overline{BH}\perp\overline{AC}。若AB‾=12\overline{AB}=12，BC‾=10\overline{BC}=10，AC‾=14\overline{AC}=14，連接DH‾\overline{DH}，則DH‾=\overline{DH}=＿＿＿＿。
三角形ABC（內部淡灰色底），A在頂部、B左下、C右下。D在BC上（B、C之間），A與D以線段AD相連（AD為中線）。H在AC上（介於A、C之間，較靠近C），H處標有直角記號；B與H以線段BH相連，BH與AD在三角形內部交叉於一點。圖中未畫出D與H之間的連線。
右圖

答案55看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    找出藏著的直角

    BH‾⊥AC‾\overline{BH}\perp\overline{AC}，所以 ∠BHC=90°\angle BHC=90°。把 △BHC\triangle BHC 單獨看出來，它是一個以 BC‾\overline{BC} 為斜邊的直角三角形。
  2. 2

    D 正好是斜邊中點

    AD‾\overline{AD} 是 △ABC\triangle ABC 的中線，表示 DD 是 BC‾\overline{BC} 的中點。把 DH‾\overline{DH} 連起來之後，它正好是直角三角形 BHCBHC 斜邊 BC‾\overline{BC} 上的中線。
  3. 3

    用斜邊中線性質

    直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半——因為斜邊中點就是這個直角三角形外心的位置，到三個頂點的距離都相等。所以 DH‾=DB‾=DC‾=12BC‾=12×10=5\overline{DH}=\overline{DB}=\overline{DC}=\frac{1}{2}\overline{BC}=\frac{1}{2}\times10=5。
  4. 4

    回頭看用不到的條件

    AB‾=12\overline{AB}=12、AC‾=14\overline{AC}=14 從頭到尾都沒派上用場，因為 DH‾\overline{DH} 只和斜邊 BC‾\overline{BC} 有關。所求 DH‾=5\overline{DH}=5。
答案
55

關鍵觀念：#中線 #畢氏定理 #垂足

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常見卡點
看到 DD 是 BC‾\overline{BC} 的中點，很多人立刻想套中點連線定理，算成 DH‾=12AB‾=6\overline{DH}=\frac{1}{2}\overline{AB}=6。但中點連線定理要求 HH 也是 AC‾\overline{AC} 的中點，這裡 HH 只是垂足並不是中點。真正的關鍵是 ∠BHC=90°\angle BHC=90°，讓 △BHC\triangle BHC 變成直角三角形，DH‾\overline{DH} 是它斜邊上的中線。

還是卡住嗎？

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