108學年鷺江國中第3次段考數學 第13題 詳解

答案$\dfrac{25}{6}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先量出三角形的高

   $\overline{DM}$ 垂直平分 $\overline{EF}$，所以 $\overline{EM}=\overline{MF}=4$。在直角三角形 $DME$ 中，由畢氏定理 $\overline{DM}=\sqrt{\overline{DE}^2-\overline{EM}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt9=3$。
2. 2

   外心一定在這條線上

   外心到 $E$、$F$ 的距離相等，所以它一定落在 $\overline{EF}$ 的中垂線上，也就是直線 $DM$ 上。題目告訴我們 $O$ 在 $\overline{DM}$ 的延長線上，也就是在 $\overline{EF}$ 的下方、三角形的外面。
3. 3

   設未知數列方程式

   設 $\overline{MO}=x$。一方面 $O$ 到 $D$ 的距離 $\overline{OD}=\overline{DM}+\overline{MO}=3+x$；另一方面在直角三角形 $OME$ 中，$\overline{OE}=\sqrt{\overline{EM}^2+\overline{MO}^2}=\sqrt{4^2+x^2}$。因為 $O$ 是外心，$\overline{OD}=\overline{OE}$，兩者都等於外接圓半徑 $R$。
4. 4

   解方程式

   $(3+x)^2=4^2+x^2$，展開得 $9+6x+x^2=16+x^2$，$x$ 的平方項消掉，得 $6x=7$，所以 $x=\frac{7}{6}$。
5. 5

   求出外接圓半徑

   $R=\overline{OD}=3+\frac{7}{6}=\frac{18}{6}+\frac{7}{6}=\frac{25}{6}$。所以 $\triangle DEF$ 的外接圓半徑是 $\frac{25}{6}$。

關鍵觀念：#外心 #外接圓半徑 #等腰三角形

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