108學年鷺江國中第3次段考數學 第9題 詳解

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先畫出兩條半徑

   設正六邊形的邊長為 $a$，中心為 $O$。從 $O$ 連到任一個頂點，就是外接圓的半徑 $R$；從 $O$ 垂直連到任一邊的中點，就是內切圓的半徑 $r$。環狀面積指的是大圓面積減去小圓面積。
2. 2

   外接圓半徑

   把中心和六個頂點都連起來，正六邊形被分成六個全等的三角形，每個的頂角都是 $360°\div6=60°$，而兩腰又相等，所以每一個都是正三角形。因此 $R=a$。
3. 3

   內切圓半徑

   $r$ 就是上面那個正三角形底邊上的高。底邊一半是 $\frac{a}{2}$，由畢氏定理 $r=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}=\frac{\sqrt3}{2}a$。
4. 4

   環狀面積列式

   環狀面積 $=\pi R^2-\pi r^2=\pi a^2-\pi\times\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}\pi a^2$。
5. 5

   解出邊長

   $\frac{1}{4}\pi a^2=9\pi$，兩邊同除以 $\pi$ 得 $\frac{1}{4}a^2=9$，所以 $a^2=36$，$a=6$。故選 (B)。

關鍵觀念：#正六邊形 #內切圓 #外接圓 #環狀面積

同主題一起複習：平面幾何 →