108學年鷺江國中第3次段考數學 第8題 詳解

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逐步解析

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   中點四邊形的關鍵

   任意四邊形 $ABCD$，依序連接四邊中點得到的四邊形，每一條邊都是某個三角形的中點連線。例如連接 $\overline{AB}$ 與 $\overline{BC}$ 中點的那一條，是 $\triangle ABC$ 的中點連線，會平行於對角線 $\overline{AC}$ 且長度是它的一半。所以中點四邊形長什麼樣，完全由原四邊形「兩條對角線是否等長、是否互相垂直」決定。
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   整理成兩個判準

   兩條對角線等長 $\Rightarrow$ 中點四邊形四邊等長，是菱形；兩條對角線互相垂直 $\Rightarrow$ 中點四邊形四個角都是直角，是矩形；兩個條件都成立才會是正方形。
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   檢查前三個選項

   (A) 正方形的兩條對角線既等長又互相垂直，中點四邊形是正方形，敘述正確。(B) 矩形的對角線等長但不垂直，中點四邊形是菱形，敘述正確。(C) 箏形的對角線互相垂直（一條垂直平分另一條）但不等長，中點四邊形是矩形，敘述正確。
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   檢查最後一個選項

   (D) 菱形的對角線互相垂直，但一般並不等長，例如對角線是 $6$ 和 $8$ 的菱形。只有垂直這一個條件成立，中點四邊形只能是矩形，不會是正方形（除非那個菱形剛好是正方形）。故選 (D)。

關鍵觀念：#中點四邊形 #正方形 #矩形 #菱形 #箏形