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108學年鷺江國中第3次段考數學 第7題 詳解

角平分線性質全等判斷 · 單選 · 題目出處：108 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，PP點是∠ABC\angle ABC之角平分線上的一點，且PM‾⊥AB‾\overline{PM}\perp\overline{AB}，PN‾⊥BC‾\overline{PN}\perp\overline{BC}，若欲證明PM‾=PN‾\overline{PM}=\overline{PN}，會用到下列哪一個全等性質？ (A) RHSRHS (B) SSSSSS (C) SASSAS (D) AASAAS。
一個角 ∠ABC：頂點 B 在左下，一邊往右上延伸到 A、另一邊往右延伸到 C（B、N、C 近似共線，N 在 B 與 C 之間）。由 B 另引一條射線通過角的內部——那是角平分線，它穿過 P 之後仍繼續往右上延伸。P 在這條射線上，並分別連到 M（在 BA 這一邊上）與 N（在 BC 這一邊上）。圖上 M、N 兩處都沒有畫直角記號，PM⊥AB 與 PN⊥BC 是題幹用文字給定的。
右圖

答案(D)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    列出已知條件

    把 △BMP\triangle BMP 和 △BNP\triangle BNP 挑出來比較。BP‾\overline{BP} 是 ∠ABC\angle ABC 的角平分線，所以 ∠MBP=∠NBP\angle MBP=\angle NBP；PM‾⊥AB‾\overline{PM}\perp\overline{AB}、PN‾⊥BC‾\overline{PN}\perp\overline{BC}，所以 ∠BMP=∠BNP=90°\angle BMP=\angle BNP=90°；另外 BP‾\overline{BP} 是兩個三角形的公共邊。
  2. 2

    看邊落在什麼位置

    現在手上是兩組角（∠BMP=∠BNP\angle BMP=\angle BNP 與 ∠MBP=∠NBP\angle MBP=\angle NBP）和一組邊（BP‾=BP‾\overline{BP}=\overline{BP}）。這條邊並不是夾在那兩組角之間，而是其中一組角的對邊，符合的正是「兩角，加上其中一角的對邊」的 AAS。
  3. 3

    完成證明

    由 AAS 得 △BMP≅△BNP\triangle BMP\cong\triangle BNP，對應邊相等，所以 PM‾=PN‾\overline{PM}=\overline{PN}。這也就是課本裡「角平分線上的點到角的兩邊等距離」的由來。故選 (D)。
  4. 4

    其他選項哪裡不行

    RHS 需要「直角、斜邊、一股」三樣都對上，這裡斜邊 BP‾\overline{BP} 雖然共用，但那一股 PM‾=PN‾\overline{PM}=\overline{PN} 正是要證的結論，不能先拿來當條件。SSS 需要三組邊，這裡只有一組。SAS 需要 BM‾=BN‾\overline{BM}=\overline{BN}，題目沒給也推不出來。
答案
(D)

關鍵觀念：#角平分線 #全等性質 #RHS

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常見卡點
看到直角就反射性選 RHS，是這題最大的陷阱。RHS 要求直角、斜邊、一股三個條件都成立，這裡只有公共斜邊 BP‾\overline{BP}，另外那一股 PM‾=PN‾\overline{PM}=\overline{PN} 是題目要你證的，拿結論當條件就變成循環論證。穩妥的做法是先把已知排成「角、角、邊」的順序，再去對照四種判別法。

還是卡住嗎？

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