108學年鷺江國中第3次段考數學 第22題 詳解

逐步解析

1. 1

   先把奇偶寫成式子

   偶數是 $2$ 的倍數，所以可以設 $a=2m$，其中 $m$ 是整數。奇數比某個偶數多 $1$，所以可以設 $b=2n+1$，其中 $n$ 是整數。注意 $m$ 與 $n$ 必須用不同的字母，因為 $a$ 和 $b$ 之間沒有任何限定關係。
2. 2

   把乘積展開

   $a\times b=2m\times(2n+1)$。用分配律展開：$2m\times2n+2m\times1=4mn+2m$。
3. 3

   提出因數 2

   $4mn+2m=2\times(2mn+m)$。因為 $m$、$n$ 都是整數，$2mn+m$ 經過整數的乘法與加法之後仍然是整數。
4. 4

   下結論

   $a\times b=2\times(2mn+m)$，形式是「$2$ 乘上一個整數」，正好符合偶數的定義。所以當 $a$ 為偶數、$b$ 為奇數時，$a\times b$ 一定是偶數。得證。

關鍵觀念：#奇偶性 #數學證明