108學年鷺江國中第3次段考數學 第23題 詳解

逐步解析

1. 1

   正三角形三心合一

   這題三個點看起來名稱不同，其實是同一種點。在正三角形裡，每一條中線同時也是角平分線、中垂線和高，三條線完全重合，所以內心、外心、重心（還有垂心）都落在同一個位置——正三角形的中心。因此 $P$、$Q$、$R$ 分別就是 $\triangle ABC$、$\triangle BCD$、$\triangle ACE$ 的中心。
2. 2

   中心到邊與到頂點

   邊長 $6$ 的正三角形，高 $=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3$。中心也是重心，會把中線分成 $2:1$，所以中心到一邊的距離 $=\frac{1}{3}\times3\sqrt3=\sqrt3$，中心到一個頂點的距離 $=\frac{2}{3}\times3\sqrt3=2\sqrt3$。
3. 3

   求 PQ

   第 (1) 小題。$\triangle ABC$ 與 $\triangle BCD$ 共用 $\overline{BC}$，設 $M$ 是 $\overline{BC}$ 的中點。$P$、$Q$ 都在 $\overline{BC}$ 的中垂線上（中心必在每一邊的中垂線上），$P$ 在 $\overline{BC}$ 上方且距離為 $\sqrt3$，$Q$ 在下方且距離也是 $\sqrt3$。兩點分居兩側，所以 $\overline{PQ}=\sqrt3+\sqrt3=2\sqrt3$。
4. 4

   建坐標定出三點

   第 (2) 小題。取 $B(0,0)$、$C(6,0)$，高是 $3\sqrt3$，則 $A(3,3\sqrt3)$、$D(3,-3\sqrt3)$。$\triangle ACE$ 與 $\triangle ABC$ 共用 $\overline{AC}$ 且開口朝右，可得 $E(9,3\sqrt3)$（驗算：$\overline{AE}=9-3=6$，$\overline{CE}=\sqrt{3^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{9+27}=6$，確實是邊長 $6$ 的正三角形）。中心就是三頂點坐標的平均，所以 $P(3,\sqrt3)$、$Q(3,-\sqrt3)$、$R(6,2\sqrt3)$。
5. 5

   算三角形面積

   $P(3,\sqrt3)$ 與 $Q(3,-\sqrt3)$ 的 $x$ 坐標相同，所以 $\overline{PQ}$ 是鉛直線段 $x=3$ 上的一段，長度 $2\sqrt3$（和第 (1) 小題吻合）。以 $\overline{PQ}$ 為底，$R$ 的 $x$ 坐標是 $6$，到直線 $x=3$ 的距離是 $6-3=3$，這就是高。面積 $=2\sqrt3\times3\div2=3\sqrt3$（平方單位）。

關鍵觀念：#內心 #外心 #重心 #正三角形 #面積計算

同主題一起複習：平面幾何 →