108學年鷺江國中第1次段考數學 第16題 詳解

答案$50$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   用總人數列關係式

   把八組的次數全部加起來等於 $30$：$1+2+3+x+4+y+2+3=30$，也就是 $15+x+y=30$，所以 $x+y=15$。
2. 2

   用中位數卡出 x 的範圍

   全班 $30$ 人是偶數，中位數是排序後第 $15$、$16$ 個人成績的平均。要讓中位數是 $60$ 分，這兩個人都得落在 $60$ 分那一組。累積到 $50$ 分是 $1+2+3+x=6+x$ 人，需要 $6+x<15$，得 $x<9$；累積到 $60$ 分是 $6+x+4=10+x$ 人，需要 $10+x\ge16$，得 $x\ge6$。所以 $6\le x\le8$。
3. 3

   用眾數定出 x、y

   眾數是 $50$ 分，代表 $x$ 必須比其他每一組的次數都大。由 $x+y=15$ 知 $x$ 和 $y$ 是兩個加起來等於 $15$ 的整數。要讓 $x$ 比 $y$ 大，$x$ 至少得是 $8$——因為 $8+7=15$ 剛好，而若 $x=7$ 則 $y=8$ 反而比 $x$ 大。配上前一步定出的 $6$ 到 $8$，只能是 $x=8$，於是 $y=15-8=7$。
4. 4

   驗算後代入所求

   此時八組次數是 $1,2,3,8,4,7,2,3$，最大的確實是 $50$ 分的 $8$ 人；累積到 $50$ 分是 $14$ 人、到 $60$ 分是 $18$ 人，第 $15$、$16$ 個人都在 $60$ 分那組，中位數為 $60$，條件全部符合。所求 $x^2-2y=8^2-2\times7=64-14=50$。

關鍵觀念：#次數分配表 #眾數 #中位數 #代數式求值