108學年鷺江國中第3次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   檢查選項 A

   $45^\circ$、$45^\circ$、$90^\circ$ 的直角三角形兩股等長、斜邊最長，設股長為 $1$，由畢氏定理得斜邊 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$，邊長比應該是 $1:1:\sqrt2$。選項寫成 $1:\sqrt2:1$，等於把最長的斜邊擺到中間去，不合。
2. 2

   檢查選項 B

   $30^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$ 的直角三角形中，對 $30^\circ$ 的邊最短，設為 $1$；它的斜邊（對 $90^\circ$）是最短邊的兩倍，為 $2$；對 $60^\circ$ 的邊由畢氏定理得 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$。依 $30^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$ 的順序寫出邊長比就是 $1:\sqrt3:2$，完全吻合。
3. 3

   檢查選項 C

   邊長 $a$ 的正三角形作高後，底邊被平分成 $\frac a2$，由畢氏定理得高 $=\sqrt{a^{2}-\left(\frac a2\right)^{2}}=\frac{\sqrt3}{2}a$。選項寫的 $\frac{\sqrt3}{4}a^{2}$ 是二次式，高卻是長度，單位就對不上。
4. 4

   檢查選項 D

   面積 $=\frac12\times a\times\frac{\sqrt3}{2}a=\frac{\sqrt3}{4}a^{2}$。選項寫的 $\frac{\sqrt3}{2}a$ 是一次式，面積卻該是平方單位，同樣對不上。可以看出 (C) 與 (D) 剛好把高與面積的公式整個對調了。
5. 5

   下結論

   四個選項中只有 (B) 的敘述完全正確，故選 (B)。

關鍵觀念：#特殊角直角三角形 #正三角形面積公式