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109學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

迷宮路徑與四則運算綜合 · 非選 · 題目出處：109 學年度第 1 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

答案(甲) 唯一的通路：由左上角入口進入後，依序經過 −4-4、1212、1616、−42-4^2、(−3)3(-3)^3、66、44 七個標示，最後由右下角出口離開（全程 101 格）。迷宮上其餘八個數字 535^3、−8-8、−72-7^2、−43-4^3、99、(−3)2(-3)^2、−9-9、−6-6 都落在死路上。 (乙) (−4)×12+16÷(−42)+(−3)3−6×4=−100(-4)\times12+16\div(-4^2)+(-3)^3-6\times4=-100看逐步解析 ↓

題目
有一隻老鼠陷在右下圖之迷宮中，請聰明的你幫他找到唯一回家的路。
(甲)畫出最短路徑。(2分)
(乙)在最短的路徑過程當中，將經過的數字依序填入下列的空格中，並依據先乘除後加減的規則，算出最後答案。
((　)×()\times(　)+()+(　)÷()\div(　)+()+(　)−()-(　)×()\times(　)=?)=?(4分)
一個 $16\times16$ 的方格迷宮，牆壁以粗黑線繪成。入口在左上角外側（藍色箭頭指向右，從最上一列的左端進入），出口在右下角外側（藍色箭頭指向右，從最下一列的右端離開）。迷宮內共有 15 個數字／算式標示，分別落在下列格子裡（「第 $r$ 列」由上往下數、「第 $c$ 欄」由左往右數）：$5^3$ 在第 1 列第 6 欄；$-8$ 在第 1 列第 16 欄；$-7^2$ 在第 3 列第 10 欄；$-4$ 在第 4 列第 9 欄；$6$ 在第 7 列第 8 欄；$-4^2$ 在第 8 列第 15 欄；$12$ 在第 9 列第 3 欄；$16$ 在第 9 列第 9 欄；$-4^3$ 在第 10 列第 5 欄；$(-3)^3$ 在第 11 列第 16 欄；$9$ 在第 14 列第 3 欄；$4$ 在第 15 列第 13 欄；$(-3)^2$ 在第 16 列第 7 欄；$-9$ 在第 16 列第 10 欄；$-6$ 在第 16 列第 13 欄。牆壁的完整走法沒辦法用文字逐格交代，上面的格位是讓讀者能對照詳解裡的路線敘述。

逐步解析

  1. 1

    先走出唯一的通路

    從左上角的入口進入迷宮，沿著沒有被牆擋住的走道一路通到右下角的出口。整座迷宮只有一條連通入口與出口的路，其餘岔路最後都會撞牆而必須折返。這條路不是一直往右下走：它先斜切到中間偏右碰到 −4-4，再折回左邊碰到 1212，橫越回中間碰到 1616，接著先往左上繞回上半部，再一路往右衝到最右邊，往下碰到 −42-4^2 與 (−3)3(-3)^3，然後往左上折回去碰到 66，最後才往右下走到 44 並離開出口。把這條通路描粗，就是第一小題要畫的最短路徑。
  2. 2

    記下沿途經過的數

    路徑上會依序碰到七個數字或算式，順序是 −4-4、1212、1616、−42-4^2、(−3)3(-3)^3、66、44。照順序填進七個空格，式子就是 (−4)×12+16÷(−42)+(−3)3−6×4(-4)\times12+16\div(-4^2)+(-3)^3-6\times4。
  3. 3

    先算兩個次方

    式子裡有兩個次方要先處理，而且寫法不同：−42-4^2 的次方沒有括號框住底數，底數是 44（填進空格後版面上會看到 16÷(−42)16\div(-4^2)，那個括號是空格本身的括號，框住的是整個 −42-4^2，不是框住底數），所以 −42=−(4×4)=−16-4^2=-(4\times4)=-16；(−3)3(-3)^3 有括號，底數是 −3-3，所以 (−3)3=(−3)×(−3)×(−3)=−27(-3)^3=(-3)\times(-3)\times(-3)=-27。
  4. 4

    再算乘除

    式子成為 (−4)×12+16÷(−16)+(−27)−6×4(-4)\times12+16\div(-16)+(-27)-6\times4。先乘除：(−4)×12=−48(-4)\times12=-48，16÷(−16)=−116\div(-16)=-1，6×4=246\times4=24。
  5. 5

    最後做加減

    剩下 (−48)+(−1)+(−27)−24(-48)+(-1)+(-27)-24。由左往右依序算：(−48)+(−1)=−49(-48)+(-1)=-49；(−49)+(−27)=−76(-49)+(-27)=-76；(−76)−24=−100(-76)-24=-100。
  6. 6

    寫出答案

    (−4)×12+16÷(−42)+(−3)3−6×4=−100(-4)\times12+16\div(-4^2)+(-3)^3-6\times4=-100。第一小題是那條由入口通到出口的唯一路徑，第二小題的計算結果是 −100-100。
答案
(甲) 唯一的通路：由左上角入口進入後，依序經過 −4-4、1212、1616、−42-4^2、(−3)3(-3)^3、66、44 七個標示，最後由右下角出口離開（全程 101 格）。迷宮上其餘八個數字 535^3、−8-8、−72-7^2、−43-4^3、99、(−3)2(-3)^2、−9-9、−6-6 都落在死路上。 (乙) (−4)×12+16÷(−42)+(−3)3−6×4=−100(-4)\times12+16\div(-4^2)+(-3)^3-6\times4=-100

關鍵觀念：#四則運算 #邏輯推理

常見卡點
這題的分數大多不是丟在迷宮，而是丟在兩個次方的寫法上。−42-4^2 沒有括號，負號在外面，值是 −16-16；若誤看成 1616，那麼 16÷16=116\div16=1，最後會算成 −48+1−27−24=−98-48+1-27-24=-98，差了 22。另外 (−3)3(-3)^3 是奇次方，結果仍是負的 −27-27，不要因為括號裡是負數就寫成 2727。填完空格先把兩個次方單獨算出來再代回去最穩。

還是卡住嗎？

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