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109學年鷺江國中第1次段考數學 第17題 詳解

直角三角形中垂直線段長 · 填充 · 題目出處：109 學年度第 1 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(十四)，已知DD為AB‾\overline{AB}中點，且DE‾⊥BC‾\overline{DE}\perp\overline{BC}。若AB‾=16\overline{AB}=16、AC‾=12\overline{AC}=12，∠A=90∘\angle A=90^\circ，則DE‾=\overline{DE}=
三角形，B在左下、C在右下（BC為底邊）、A在上方頂點，A處有一個直角記號；D在邊AB上，E在邊BC上（D在E正上方），D與E之間有一條垂直線段，E處有一個直角記號。
圖(十四)

答案245\dfrac{24}{5}看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先求斜邊 BC

    ∠A=90∘\angle A=90^\circ，所以 BC‾\overline{BC} 是斜邊。由畢氏定理 BC‾2=AB‾2+AC‾2=162+122=256+144=400\overline{BC}^2=\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=16^2+12^2=256+144=400，所以 BC‾=20\overline{BC}=20。
  2. 2

    找出相似三角形

    比較 △BDE\triangle BDE 與 △BCA\triangle BCA：∠B\angle B 是兩者共用的角，又 DE‾⊥BC‾\overline{DE}\perp\overline{BC} 使得 ∠BED=90∘=∠BAC\angle BED=90^\circ=\angle BAC，由 AA 相似得 △BDE∼△BCA\triangle BDE\sim\triangle BCA，對應順序是 B↔BB\leftrightarrow B、D↔CD\leftrightarrow C、E↔AE\leftrightarrow A。
  3. 3

    算出 BD

    DD 是 AB‾\overline{AB} 的中點，所以 BD‾=16÷2=8\overline{BD}=16\div2=8。
  4. 4

    列比例式求 DE

    依對應順序得 DE‾CA‾=BD‾BC‾\dfrac{\overline{DE}}{\overline{CA}}=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{BC}}，代入為 DE‾12=820\dfrac{\overline{DE}}{12}=\dfrac{8}{20}。所以 DE‾=12×820=9620=245\overline{DE}=12\times\dfrac{8}{20}=\dfrac{96}{20}=\dfrac{24}{5}。
答案
245\dfrac{24}{5}

關鍵觀念：#直角三角形 #母子相似性質 #中點

常見卡點
DD 是 AB‾\overline{AB} 的中點，很容易讓人以為 DE‾\overline{DE} 就是中位線、直接寫成 AC‾\overline{AC} 的一半也就是 66；但中位線要平行 AC‾\overline{AC}，而這裡的 DE‾\overline{DE} 是垂直 BC‾\overline{BC} 的，方向完全不同。另一個坑是比例式裡的邊選錯：相似的是 △BDE\triangle BDE 與 △BCA\triangle BCA，要用 BD‾=8\overline{BD}=8 比 BC‾=20\overline{BC}=20；若誤用整條 AB‾=16\overline{AB}=16，會算出 9.69.6，那其實是從 AA 畫到 BC‾\overline{BC} 的高。

還是卡住嗎？

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