109學年鷺江國中第1次段考數學 第4題 詳解

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逐步解析

1. 1

   斜邊上的高切兩塊

   $\angle BAC=90^\circ$，$\overline{AD}$ 是斜邊 $\overline{BC}$ 上的高，它把 $\triangle ABC$ 切成 $\triangle DBA$ 和 $\triangle DAC$ 兩個直角三角形。因為 $\angle B+\angle C=90^\circ$，而在 $\triangle DBA$ 中又有 $\angle BAD+\angle B=90^\circ$，所以 $\angle BAD=\angle C$。
2. 2

   判定母子相似

   $\triangle DBA$ 與 $\triangle DAC$ 中，$\angle BDA=\angle ADC=90^\circ$、$\angle BAD=\angle C$，由 AA 相似得 $\triangle DBA\sim\triangle DAC$，對應順序是 $D\leftrightarrow D$、$B\leftrightarrow A$、$A\leftrightarrow C$。
3. 3

   寫出射影關係

   依對應邊成比例得 $\overline{DB}:\overline{DA}=\overline{DA}:\overline{DC}$，內項相乘等於外項相乘，整理成 $\overline{AD}^2=\overline{BD}\times\overline{CD}$。
4. 4

   代入求 AD

   $\overline{AD}^2=8\times6=48$，所以 $\overline{AD}=\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt3$。故選 (A)。

關鍵觀念：#直角三角形 #母子相似性質