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109學年鷺江國中第2次段考數學 第10題 詳解

根式倒數關係判斷 · 單選 · 題目出處：109 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
若x=3+2x=\sqrt3+2，y=13−2y=\dfrac{1}{\sqrt3-2}，則x與y的關係為下列何者？ (A)x−y=0x-y=0 (B)xy=1xy=1 (C)x+y=0x+y=0 (D)xy=−1xy=-1

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先有理化 y

    y=13−2y=\dfrac{1}{\sqrt3-2} 的分母有根號，分子分母同乘共軛的 3+2\sqrt3+2：分母變成 (3−2)(3+2)=(3)2−22=3−4=−1(\sqrt3-2)(\sqrt3+2)=(\sqrt3)^2-2^2=3-4=-1。
  2. 2

    看出兩者的關係

    所以 y=3+2−1=−(3+2)y=\dfrac{\sqrt3+2}{-1}=-(\sqrt3+2)。而 x=3+2x=\sqrt3+2，因此 y=−xy=-x，兩者互為相反數。
  3. 3

    逐項檢查

    由 y=−xy=-x 得 x+y=0x+y=0，(C) 成立。其餘：x−y=2x=23+4≠0x-y=2x=2\sqrt3+4\neq0；xy=−x2=−(3+2)2=−(7+43)xy=-x^2=-(\sqrt3+2)^2=-(7+4\sqrt3)，大約是 −13.9-13.9，既不是 1 也不是 −1-1。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#根式有理化 #根式運算

常見卡點
3+2\sqrt3+2 和 3−2\sqrt3-2 長得像共軛，不少人就以為 xx 與 yy 互為倒數而選 (B)。真正的關鍵在有理化時分母是 (3)2−22=3−4=−1(\sqrt3)^2-2^2=3-4=-1；如果把 2 忘了平方、算成 3−2=13-2=1，就會得到 y=3+2=xy=\sqrt3+2=x，進而誤選 (A)。共軛式相乘要套平方差公式，兩項都必須平方。

還是卡住嗎？

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