109學年鷺江國中第2次段考數學 第21題 詳解

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逐步解析

1. 1

   左式套平方差

   $a^2-4b^2=a^2-(2b)^2$，套平方差公式可得 $(a-2b)(a+2b)=17$。
2. 2

   利用十七是質數

   $a$、$b$ 都是正整數，所以 $a-2b$ 與 $a+2b$ 都是整數，而且 $a+2b>0$。兩數相乘等於正的 17，所以 $a-2b$ 也必須是正的——這樣才排除掉 $(-1)\times(-17)$ 那一組。17 是質數，正整數的拆法只有 $1\times17$；又因為 $a+2b>a-2b$，所以 $a-2b=1$、$a+2b=17$。
3. 3

   解出 a 與 b

   兩式相加：$(a-2b)+(a+2b)=1+17$，得 $2a=18$，$a=9$。代回 $a-2b=1$ 得 $9-2b=1$，$2b=8$，$b=4$。
4. 4

   算出 a 減 b

   驗算 $9^2-4\times4^2=81-64=17$，確實成立。所以 $a-b=9-4=5$。答案是 5。

關鍵觀念：#平方差公式 #整數解