109學年鷺江國中第2次段考數學 第22題 詳解

逐步解析

1. 1

   分母先分成兩組

   分母 $1-\sqrt2+\sqrt3$ 有三項，一次消不掉。先把它看成 $(1+\sqrt3)-\sqrt2$ 兩組，再乘上共軛的 $(1+\sqrt3)+\sqrt2$，就能先消掉一個根號。
2. 2

   第一次有理化

   分母 $=\left[(1+\sqrt3)-\sqrt2\right]\left[(1+\sqrt3)+\sqrt2\right]=(1+\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2=(1+2\sqrt3+3)-2=2+2\sqrt3$。所以原式等於 $\dfrac{1+\sqrt3+\sqrt2}{2+2\sqrt3}$。
3. 3

   第二次有理化

   分母 $2+2\sqrt3=2(1+\sqrt3)$ 還有根號，分子分母再同乘 $\sqrt3-1$：分母 $=2(1+\sqrt3)(\sqrt3-1)=2\left[(\sqrt3)^2-1^2\right]=2\times2=4$。
4. 4

   展開分子整理

   分子 $=(1+\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-1)=\sqrt3-1+3-\sqrt3+\sqrt6-\sqrt2=2+\sqrt6-\sqrt2$。所以原式等於 $\dfrac{2+\sqrt6-\sqrt2}{4}$，也就是 $\dfrac{-\sqrt2+2+\sqrt6}{4}$。

關鍵觀念：#分母有理化 #根式化簡