109學年鷺江國中第2次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先看正方形給了什麼

   四邊形 $AEFD$ 是正方形，所以 $\overline{AD}=\overline{EF}$、$\overline{AE}=\overline{DF}$，而且 $\overline{AE}\perp\overline{EF}$。又 $E$、$F$ 都落在 $\overline{BC}$ 上，所以 $\overline{AD}$ 與 $\overline{BC}$ 平行，$\overline{AE}$ 也垂直於 $\overline{BC}$。
2. 2

   比較弦 AB 與弦 BC

   設正方形邊長為 $s$，$\overline{BE}=t$、$\overline{FC}=u$，其中 $t>0$、$u>0$。則 $\overline{BC}=t+s+u$；在直角三角形 $ABE$ 中，$\overline{AB}=\sqrt{s^2+t^2}$。比較平方：$\overline{BC}^2=(t+s+u)^2>(s+t)^2=s^2+2st+t^2>s^2+t^2=\overline{AB}^2$，所以 $\overline{BC}>\overline{AB}$。
3. 3

   弦愈長、所對的弧愈大

   在同一個圓中，弦愈長，它所對的弧也愈大。由 $\overline{AB}<\overline{BC}$ 得 $\widehat{AB}<\widehat{BC}$，(A) 的敘述成立。
4. 4

   其餘選項一併檢查

   又 $\overline{AB}=\sqrt{s^2+t^2}>s=\overline{AD}$，所以 $\widehat{AB}>\widehat{AD}$，(B) 說兩者相等、(C) 說前者較小，都不成立；(D) 說 $\widehat{AB}=\widehat{BC}$，和第二步算出的結果矛盾。故選 (A)。

關鍵觀念：#弧長 #圓內接正方形