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109學年鷺江國中第2次段考數學 第10題 詳解

正方形與內切圓面積比較（如圖） · 是非 · 題目出處：109 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

答案○看逐步解析 ↓

題目
請問下圖正方形及圓形面積相同。
一個正方形與一個圓部分重疊，圓心 $O$ 在正方形中心。兩者互相凸出：圓在正方形的四個邊之外都露出一小塊，而正方形的四個角則露在圓之外——不是內切也不是外接。正方形上方以弧形括號標示邊長為 $\sqrt\pi$；由 $O$ 畫出一條指向右下的半徑，標示長度為 $1$。圓的部分以淡粉紅色填滿。（卷面註明圖形僅供參考；實際這張圖大致按比例畫，正方形邊長與半徑的比值與理論值相近。）
下圖

逐步解析

  1. 1

    先算正方形面積

    正方形的邊長標示為 π\sqrt{\pi}，面積等於邊長的平方：(π)2=π(\sqrt{\pi})^2=\pi。根號和平方剛好互相抵消。
  2. 2

    再算圓面積

    圖上圓的半徑標示為 11，圓面積等於 πr2=π×12=π\pi r^2=\pi\times1^2=\pi。
  3. 3

    比較並下結論

    兩個面積都是 π\pi，確實相同，敘述正確，打圈。圖上看得出圓在正方形四邊的中央各凸出一塊、正方形的四個角則伸到圓外——兩邊各讓出一塊，面積剛好打平。
答案
○

關鍵觀念：#圓面積 #正方形面積

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常見卡點
很多人一看到圖就用眼睛比大小，覺得圓比較胖所以面積比較大。但圖上兩者是互相凸出的：圓在四個邊的中央跑出去、正方形的四個角伸出來，誰也沒有整個包住誰，光看就是分不出來，一定要算。另一個坑是把 (π)2(\sqrt{\pi})^2 算成 π2\pi^2，其實平方會把根號消掉，結果就是 π\pi。

還是卡住嗎？

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