109學年鷺江國中第3次段考數學 第7題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先釘住對應關係

   要證的是 $\triangle ABC\sim\triangle DCA$，頂點對應是 $A$ 對 $D$、$B$ 對 $C$、$C$ 對 $A$。所以對應邊是 $\overline{AB}$ 對 $\overline{DC}$、$\overline{BC}$ 對 $\overline{CA}$、$\overline{CA}$ 對 $\overline{AD}$；對應角是 $\angle BAC$ 對 $\angle CDA$、$\angle ABC$ 對 $\angle DCA$、$\angle BCA$ 對 $\angle CAD$。寫相似證明時，這個順序不能亂套。
2. 2

   甲生多用了一組角

   $\angle1$ 在 $C$ 點、夾在 $\overline{CB}$ 與 $\overline{CA}$ 之間；$\angle2$ 在 $A$ 點、夾在 $\overline{AC}$ 與 $\overline{AD}$ 之間。因為 $\overline{BC}/\!/\overline{AD}$ 且截線是 $\overline{AC}$，這兩個角確實是內錯角，相等沒問題。但 $\angle3$ 在 $A$ 點、夾在 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AC}$ 之間，$\angle4$ 在 $C$ 點、夾在 $\overline{CA}$ 與 $\overline{CD}$ 之間，要讓這一組成為內錯角，需要的是 $\overline{AB}/\!/\overline{CD}$，而題目根本沒給這個條件。所以甲生的第二個「內錯角相等」沒有依據。
3. 3

   乙生的邊角邊成立

   乙生只用了有依據的 $\angle1=\angle2$，再加上兩組對應邊成比例：$\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}=\dfrac{3}{6}$ 與 $\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AD}}=\dfrac{6}{12}$，兩個比值都是一半。而 $\angle1$ 正好夾在 $\overline{CB}$ 與 $\overline{CA}$ 之間、$\angle2$ 正好夾在 $\overline{AC}$ 與 $\overline{AD}$ 之間，都是「成比例的那兩邊所夾的角」，完全符合 SAS 相似的條件，所以乙生正確。
4. 4

   下結論

   甲生多用了一組沒有根據的等角，說明不完整；乙生的邊角邊條件齊全，說明合理。故選 (B)。

關鍵觀念：#相似三角形 #AA相似 #SAS相似 #內錯角