109學年鷺江國中第3次段考數學 第4題 詳解

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逐步解析

1. 1

   檢查等面積的那一句

   連 $\overline{AG}$ 並延長交 $\overline{BC}$ 於 $D$。$\triangle GAB$ 與 $\triangle GCA$ 可以看成以 $\overline{AG}$ 為共同底邊，兩者面積相等就表示 $B$、$C$ 到直線 $AD$ 的距離相等，因此 $\overline{AD}$ 會通過 $\overline{BC}$ 的中點，是一條中線。同理把 $\overline{BG}$ 延長也會得到中線，兩條中線的交點正是重心，所以 (A) 這句話正確。
2. 2

   等腰不等於三心重合

   等腰三角形只保證三個心都落在底邊的中垂線這一條對稱軸上，位置卻不一定相同。以 $\overline{AB}=\overline{AC}=13$、$\overline{BC}=10$ 為例，高是 $12$、面積是 $60$，重心到 $\overline{BC}$ 的距離是 $12\div3=4$，而內切圓半徑是 $60\div18=\dfrac{10}{3}$，也就是內心到 $\overline{BC}$ 的距離。兩者明顯不同，所以 (B) 這句話錯誤。
3. 3

   兩個圓一定作得出來

   任何三角形的三條內角平分線一定交於一點，那一點到三邊等距，以它為圓心就能畫出內切圓；三邊的中垂線也一定交於一點，那一點到三頂點等距，以它為圓心就能畫出外接圓。角平分線與中垂線都是尺規作圖的基本作法，所以 (C)、(D) 兩句都正確。
4. 4

   下結論

   四個敘述裡只有「等腰三角形的重心、外心、內心都在同一點」不成立，題目問的是何者錯誤，故選 (B)。

關鍵觀念：#重心 #外心 #內心 #三角形的心

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