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109學年新莊國中第2次段考數學 第17題 詳解

等腰三角形作圖求夾角 · 填充 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
已知一點PP及AB‾\overline{AB}，如圖HH所示，先以AA為圓心，AP‾\overline{AP}為半徑畫弧交AB‾\overline{AB}於EE點，再以PP為圓心，PB‾\overline{PB}為半徑畫弧交AB‾\overline{AB}於FF點，若∠PAE=40°\angle PAE=40°，∠PBF=60°\angle PBF=60°，則∠EPF=\angle EPF=___度
一條水平線段，左端點為A、右端點為B。線段上由左到右有F、E兩點（皆為桃紅色實心點），F較靠近A、E較靠近B。P點（黑色實心點）在線段上方，左右位置在F與E之間、偏向E。圖上有兩條弧線：一條從P的左上方開始，經過P，往下經過E，延伸到線段下方；另一條從F的左上方開始，經過F往下彎、在線段下方繞過，再往上經過B，結束在B的右上方。圖上沒有畫出AP、PB、PE、PF等線段。

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逐步解析

  1. 1

    等腰△APE

    ∵ AP‾=AE‾\overline{AP}=\overline{AE}
    ∴ ∠AEP=∠APE=(180°−40°)÷2=70°\angle AEP=\angle APE=(180°-40°)\div2=70°
  2. 2

    等腰△PFB

    ∵ PF‾=PB‾\overline{PF}=\overline{PB}
    ∴ ∠PFB=∠PBF=60°\angle PFB=\angle PBF=60°
  3. 3

    求∠EPF

    △PEF\triangle PEF 中，∠PEF=70°\angle PEF=70°，∠PFE=60°\angle PFE=60°
    ⇒\Rightarrow ∠EPF=180°−70°−60°=50°\angle EPF=180°-70°-60°=50°
答案
50

關鍵觀念：#等腰三角形 #尺規作圖 #外角

常見卡點
AP‾=AE‾\overline{AP}=\overline{AE} 的兩腰交在 AA，所以 40°40° 是頂角，底角是 ∠APE\angle APE 和 ∠AEP\angle AEP。若把 40°40° 也當成底角，以為 ∠AEP=40°\angle AEP=40°，會得 ∠EPF=180°−40°−60°=80°\angle EPF=180°-40°-60°=80°。另外要看清楚 FF 靠近 AA、EE 靠近 BB，△PEF\triangle PEF 在 EE、FF 兩點的內角才分別是 70°70°、60°60°，順序弄反就湊不出三角形。

還是卡住嗎？

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