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109學年新莊國中第2次段考數學 第13題 詳解

五邊形外角倍數關係求內角 · 填充 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
如圖DD，多邊形ABCDEABCDE為五邊形。若∠AED=120°\angle AED=120°，且∠1=∠2=3∠3=3∠4\angle1=\angle2=3\angle3=3\angle4，求∠BCD=\angle BCD=___度
五邊形ABCDE，B在左上、A在右上、E在右側（比A低）、D在右下、C在左下，邊依序是BA、AE、ED、DC、CB。五個頂點各有一邊畫出延長線：EA延長超過A（往上）、AB延長超過B（往左）、BC延長超過C（往下）、CD延長超過D（往右）、DE延長超過E（往右上）。外角標號：A點標「1」（EA的延長線與AB之間）、B點標「2」（AB的延長線與BC之間）、C點標「3」（BC的延長線與CD之間）、D點標「4」（CD的延長線與DE之間）；E點的延長線旁沒有標號，E的內角（EA與ED之間）標「120°」。

答案142.5看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    外角和

    ∠AED\angle AED 的外角＝180°−120°=60°180°-120°=60°，
    ∠1+∠2+∠3+∠4=360°−60°=300°\angle1+\angle2+\angle3+\angle4=360°-60°=300°（多邊形外角和為 360°360°）
  2. 2

    設未知數

    設 ∠3=∠4=r\angle3=\angle4=r，則 ∠1=∠2=3r\angle1=\angle2=3r，
    3r+3r+r+r=300°3r+3r+r+r=300° ⇒\Rightarrow 8r=300°8r=300° ⇒\Rightarrow r=37.5°r=37.5°
  3. 3

    求∠BCD

    ∠BCD=180°−∠3=180°−37.5°=142.5°\angle BCD=180°-\angle3=180°-37.5°=142.5°
答案
142.5

關鍵觀念：#多邊形外角和 #五邊形

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常見卡點
五邊形有五個外角，∠AED\angle AED 的外角 60°60° 也要算進外角和。若只把 ∠1\angle1 到 ∠4\angle4 當成合計 360°360°，會得 8r=360°8r=360°、r=45°r=45°，算出 ∠BCD=135°\angle BCD=135°，數字很整齊卻是錯的。另外 ∠1=3∠3\angle1=3\angle3 表示 ∠1\angle1 是 ∠3\angle3 的 3 倍、∠1\angle1 比較大，設反了會得 ∠3=112.5°\angle3=112.5°，∠BCD\angle BCD 就跟著錯。

還是卡住嗎？

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