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109學年新莊國中第2次段考數學 第22題 詳解

尺規作圖畢氏定理求數線上的點 · 非選 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

答案略（尺規作圖，見答案卷）：過OO作數線的垂線；在垂線上取一點CC使OC‾=3\overline{OC}=3（3倍單位長OA‾\overline{OA}），在數線上取一點DD使OD‾=2\overline{OD}=2（2倍單位長）；因∠COD=90°\angle COD=90°，由畢氏定理CD‾=32+22=13\overline{CD}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}；以OO為圓心、CD‾\overline{CD}長為半徑畫弧交數線於BB，即OB‾=13\overline{OB}=\sqrt{13}。看逐步解析 ↓

題目
已知數線及數線上兩點O(0)O(0)、A(1)A(1)，試利用尺規依下面提示作圖，保留作圖痕跡並標示BB點位置，不用寫作法。
(1) 利用尺規作圖過OO點作一垂直線 (2分)
(2) 應用畢氏定理的概念作一線段長=13\sqrt{13} (2分)
(3) 在數線上找到一點BB，使OB‾=13\overline{OB}=\sqrt{13} (1分)

逐步解析

  1. 1

    (1) 作垂直線

    以 OO 為圓心、OA‾\overline{OA} 為半徑畫弧，交數線於 AA 及 A′(−1)A'(-1)，
    分別以 AA、A′A' 為圓心，大於 OA‾\overline{OA} 的長為半徑畫弧，兩弧交於 QQ 點，
    連接 OQ↔\overleftrightarrow{OQ}，即為過 OO 點的垂直線
  2. 2

    (2) 作√13

    在 OQ↔\overleftrightarrow{OQ} 上連續截取 33 次 OA‾\overline{OA} 得 CC 點，OC‾=3\overline{OC}=3，
    在數線上截取 OD‾=2\overline{OD}=2，連接 CD‾\overline{CD}，
    ∵ ∠COD=90°\angle COD=90°
    ∴ CD‾=32+22=13\overline{CD}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}（畢氏定理）
  3. 3

    (3) 找B點

    以 OO 為圓心、CD‾\overline{CD} 為半徑畫弧，交數線的正向於 BB 點
    ⇒\Rightarrow OB‾=CD‾=13\overline{OB}=\overline{CD}=\sqrt{13}，BB 點即為所求
答案
略（尺規作圖，見答案卷）：過OO作數線的垂線；在垂線上取一點CC使OC‾=3\overline{OC}=3（3倍單位長OA‾\overline{OA}），在數線上取一點DD使OD‾=2\overline{OD}=2（2倍單位長）；因∠COD=90°\angle COD=90°，由畢氏定理CD‾=32+22=13\overline{CD}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}；以OO為圓心、CD‾\overline{CD}長為半徑畫弧交數線於BB，即OB‾=13\overline{OB}=\sqrt{13}。

關鍵觀念：#尺規作圖 #畢氏定理 #無理數

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常見卡點
最常見的錯在第 (3) 小題：直接以 DD 為圓心、DC‾\overline{DC} 為半徑畫弧，交數線正向得到的點代表 2+132+\sqrt{13}，不是 13\sqrt{13}。要先用圓規量下 CD‾\overline{CD} 的長，再把針尖移到 OO 畫弧。第 (2) 小題要找兩股 3 和 2，因為 32+22=133^2+2^2=13；兩股都要用圓規從單位長 OA‾\overline{OA} 截取，不能用尺上的刻度量。

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