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109學年鷺江國中第2次段考數學 第15題 詳解

星形角度求x值 · 填充 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖（八），各角的度數如圖所示，則x＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
紫色網底的自交折線圖形，是單一封閉的五邊自交折線（不是兩個三角形交疊）。五段的連接順序為：頂角 → 右角 → 左下角 → 左中角 → 下角 → 回到頂角。五個「尖角」各以弧形箭頭標出轉向並標了角度：頂角 $3x°$、右角 $3x°$、左中角 $3x°$、左下角 $x°$、下角 $x°$。折線自交產生兩個交點：一個是「右角–左下角」與「頂角–下角」兩段的交點，另一個是「右角–左下角」與「左中角–下角」兩段的交點。

答案20看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先把折線走一遍

    這條折線從最上面的尖角出發，依序連到右邊的尖角、左下角的尖角、左邊中段的尖角、最下面的尖角，再回到最上面的尖角，是一條自己交叉的封閉折線。它交叉出兩個點：「右尖角到左下尖角」這一段，和「最上尖角到最下尖角」那一段交於 MM，和「左中尖角到最下尖角」那一段交於 NN。
  2. 2

    上面那個三角形

    以最上尖角、右尖角、MM 為頂點的三角形中，最上尖角是 3x3x 度、右尖角是 3x3x 度，由內角和得在 MM 的角 =180−3x−3x=180−6x=180-3x-3x=180-6x（度）。
  3. 3

    左下那個三角形

    以左下尖角、左中尖角、NN 為頂點的三角形中，左下尖角是 xx 度、左中尖角是 3x3x 度，由內角和得在 NN 的角 =180−x−3x=180−4x=180-x-3x=180-4x（度）。
  4. 4

    用對頂角搬過去

    再看以最下尖角、MM、NN 為頂點的三角形。MM 在「最上尖角到最下尖角」那一段上，也在「右尖角到左下尖角」那一段上，所以它在這個三角形的角與第二步算出的角互為對頂角，仍是 180−6x180-6x 度；同理 NN 處的角與第三步算出的角互為對頂角，仍是 180−4x180-4x 度；而在最下尖角的角就是 xx 度。
  5. 5

    列式解出 x

    三角形內角和：(180−6x)+(180−4x)+x=180(180-6x)+(180-4x)+x=180，即 360−9x=180360-9x=180，9x=1809x=180，x=20x=20。答案為 2020。
答案
20

關鍵觀念：#三角形內角和 #對頂角 #角的計算

常見卡點
看到星形就套「五個尖角和等於一百八十度」是這題最大的陷阱。那條性質只對標準的五角星成立，而這個圖形只交叉出兩個點，不是五角星；硬套會得到十一個 x 等於一百八十，解出來連整數都不是，就該知道套錯了。正確做法是先找出兩個交叉點，在上面和左下那兩個三角形各用一次內角和，再用對頂角把角搬到最下面的三角形。

還是卡住嗎？

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