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109學年鷺江國中第2次段考數學 第17題 詳解

角平分線與外角平分線求角度 · 填充 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖（十），C點在直線BE上，已知BD‾\overline{BD}、CD‾\overline{CD}分別平分∠ABC\angle ABC、∠ACE\angle ACE，且∠D＝40°\angle D＝40°，∠1＝25°\angle 1＝25°，∠A＝\angle A＝＿＿＿＿＿度。
淺藍色重疊圖形，$B$、$C$、$E$ 三點在同一水平線上（$C$ 在 $B$、$E$ 之間，$E$ 是底線上比 $C$ 更右邊的一個點）。$A$ 在左上方，與 $B$、$C$ 分別連線構成三角形 $ABC$；$D$ 在右上方，與 $B$、$C$ 分別連線，其中 $\overline{BD}$ 與 $\overline{AC}$ 在圖形中央相交。圖上沒有 $\overline{DE}$ 這條線段——$D$ 只連到 $B$ 與 $C$。$B$ 點處以弧線標示 $\angle1$，即底線 $\overline{BC}$ 與 $\overline{BD}$ 的夾角。

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逐步解析

  1. 1

    由角一求角 ABC

    BD‾\overline{BD} 平分 ∠ABC\angle ABC，而 ∠1\angle 1 是 BD‾\overline{BD} 與 BC‾\overline{BC} 的夾角，正是被平分出來的一半，所以 ∠ABC=2×25°=50°\angle ABC=2\times 25°=50°。
  2. 2

    外角定理算角 DCE

    CC 在直線 BEBE 上，所以 ∠DCE\angle DCE 是 △BDC\triangle BDC 在 CC 的外角。由外角定理，∠DCE=∠1+∠D=25°+40°=65°\angle DCE=\angle 1+\angle D=25°+40°=65°。
  3. 3

    回推角 ACB

    CD‾\overline{CD} 平分 ∠ACE\angle ACE，所以 ∠ACE=2×65°=130°\angle ACE=2\times 65°=130°。又 BB、CC、EE 共線，∠ACB\angle ACB 與 ∠ACE\angle ACE 互為補角，∠ACB=180°−130°=50°\angle ACB=180°-130°=50°。
  4. 4

    內角和求角 A

    在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=180°−∠ABC−∠ACB=180°−50°−50°=80°\angle A=180°-\angle ABC-\angle ACB=180°-50°-50°=80°。答案為 8080 度。
答案
80

關鍵觀念：#角平分線 #外角平分線 #角的計算 #三角形外角定理

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常見卡點
最常見的錯是把角 DCE 的六十五度直接當成角 ACB 來用，算出角 A 等於六十五度。CD 平分的是角 ACE，六十五度只是它的一半，要先加倍成一百三十度，再利用 B、C、E 共線取補角，才得到角 ACB 是五十度。另一個坑是把角一當成整個角 ABC，忘了它只是被 BD 平分後的一半，算出角 A 等於一百零五度。

還是卡住嗎？

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