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109學年鷺江國中第2次段考數學 第18題 詳解

角平分線分割直角三角形求面積 · 填充 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖（十一），△ABC\triangle ABC中，∠ACB＝90°\angle ACB＝90°，BD→\overrightarrow{BD}為∠ABC\angle ABC的角平分線，交AC‾\overline{AC}於D點。若AB‾＝10\overline{AB}＝10公分，CD‾＝3\overline{CD}＝3公分，則：△ABD\triangle ABD的面積＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿平方公分。
淡紫色直角三角形ABC，直角在C點（以小方框標示）；B在左下角，A在右上角，C在右下角。B點旁以兩個小圓圈標示兩個相等角度（∠ABD與∠DBC）；D點在AC邊上（靠近C側），由B到D畫有線段。斜邊BA標示「10cm」，DC標示「3cm」。

答案15看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    角平分線上的等距

    BD→\overrightarrow{BD} 平分 ∠ABC\angle ABC，DD 在這條角平分線上，所以 DD 到 ∠ABC\angle ABC 兩邊的距離相等，也就是 DD 到 BC‾\overline{BC} 的距離等於 DD 到 AB‾\overline{AB} 的距離。
  2. 2

    找出這個共同距離

    ∠ACB=90°\angle ACB=90°，表示 DC‾⊥BC‾\overline{DC}\perp\overline{BC}，所以 DD 到 BC‾\overline{BC} 的距離就是 DC‾=3\overline{DC}=3 公分。由上一步，DD 到 AB‾\overline{AB} 的距離也是 33 公分。
  3. 3

    以 AB 為底算面積

    把 AB‾\overline{AB} 當成 △ABD\triangle ABD 的底，對應的高就是 DD 到 AB‾\overline{AB} 的距離 33 公分，所以 △ABD\triangle ABD 面積 =12×10×3=15=\dfrac{1}{2}\times 10\times 3=15（平方公分）。
答案
15

關鍵觀念：#角平分線 #三角形面積

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常見卡點
這題不需要也算不出 BC 和 AC 的長，想先用畢氏定理把邊長求出來只會卡住。關鍵是角平分線上的點到角的兩邊等距：D 到 BC 的距離就是 DC 等於三公分，所以 D 到斜邊 AB 的距離也是三公分，那正是以 AB 為底時要用的高。最常見的錯是忘記乘二分之一，把十乘三直接寫成三十。

還是卡住嗎？

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