110學年新莊國中第2次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   求公倍數的短除規則

   求最小公倍數的短除法，每一步只要有至少兩數能被該質數整除就可以除，不能整除的數直接抄下來。所以每一列未必三個數都被除。
2. 2

   由 d、e、f 互質推 2

   第三步用 $2$ 去除 $d$、$e$、$f$。若三數都是 $2$ 的倍數，最大公因數至少是 $2$，與題意的 $1$ 矛盾，所以 $2$ 恰好整除其中兩數。同理，若 $g$、$h$、$i$ 都被 $5$ 整除，那麼 $d$、$e$、$f$ 也都是 $5$ 的倍數，也矛盾，所以第四步的 $5$ 也只整除兩數。
3. 3

   判斷 A

   $g$、$h$、$i$ 由 $5$、$11$、$13$ 中恰有兩數乘上 $5$ 而得，只有 $5$ 可能是共同質因數，但它只出現在兩數中，所以 $g$、$h$、$i$ 的最大公因數一定是 $1$。(A) 正確。
4. 4

   舉例推翻 B

   第二步的 $5$ 也可能只整除兩數。例如 $x,y,z=750,1650,13$：除以 $3$ 得 $250,550,13$，再除以 $5$ 得 $50,110,13$，再除以 $2$ 得 $25,55,13$，再除以 $5$ 得 $5,11,13$。此時 $d,e,f=50,110,13$ 的最大公因數是 $1$，符合題意，但 $a,b,c=250,550,13$ 的最大公因數是 $1$，不是 $5$。所以 (B) 的「一定」不成立。
5. 5

   判斷 C、D

   短除法求最小公倍數，是把左邊所有除數與最後一列全部相乘。$d$、$e$、$f$ 的最小公倍數是 $2\times5\times5\times11\times13=2\times5^2\times11\times13$，(C) 正確；$x$、$y$、$z$ 的最小公倍數是 $3\times5\times2\times5\times5\times11\times13=2\times3\times5^3\times11\times13$，(D) 正確。
6. 6

   結論

   錯誤的敘述是 (B)，故選 (B)。

關鍵觀念：#短除法 #最大公因數 #最小公倍數