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110學年新莊國中第2次段考數學 第19題 詳解

由最大公因數求指數未知數之和 · 填充 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
9. 若A=22×3a×5b×73×112A=2^2\times3^a\times5^b\times7^3\times11^2，B=23×33×c2×11d×13B=2^3\times3^3\times c^2\times11^d\times13，且
（AA，BB）=22×32×5×11=2^2\times3^2\times5\times11，則a+b+c+d=a+b+c+d=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

答案9看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    比對 3 的次方

    最大公因數中每個質因數取兩數中較小的次方。33 在 AA 是 3a3^a、在 BB 是 333^3，最大公因數是 323^2，所以 a=2a=2。
  2. 2

    判斷 c

    BB 是寫成質因數連乘的形式，所以 cc 也是一個質數，而且和 22、33、1111、1313 都不同。最大公因數含有 55，BB 也必須含 55，而能提供 55 的只有 c2c^2，故 c=5c=5，BB 含 525^2。
  3. 3

    比對 5 與 11 的次方

    55：AA 是 5b5^b、BB 是 525^2，最大公因數是 515^1，所以 b=1b=1。1111：AA 是 11211^2、BB 是 11d11^d，最大公因數是 11111^1，所以 d=1d=1。
  4. 4

    相加

    a+b+c+d=2+1+5+1=9a+b+c+d=2+1+5+1=9。
答案
9

關鍵觀念：#最大公因數 #標準分解式 #指數

常見卡點
容易把 cc 誤當成 7，以為要和 AA 的 737^3 配對，但最大公因數裡沒有 7，而有 5，所以 cc 必須是 5。另外最大公因數是取「較小」的次方，看到 323^2 時 aa 要等於 2，不能是 3 或更大。

還是卡住嗎？

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