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110學年新莊國中第3次段考數學 第23題 詳解

三角形中點連線證明比例關係 · 非選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

答案過 M 點作 MQ‾∥AP‾\overline{MQ}\parallel\overline{AP}（Q 在 BC‾\overline{BC} 上，介於 P、C 之間）。
在 △ACP 中，∵ M 為 AC‾\overline{AC} 中點，且 MQ‾∥AP‾\overline{MQ}\parallel\overline{AP}，∴ Q 為 CP‾\overline{CP} 中點，即 CQ‾=PQ‾\overline{CQ}=\overline{PQ}……①
在 △BQM 中，∵ N 為 BM‾\overline{BM} 中點，又 NP‾∥MQ‾\overline{NP}\parallel\overline{MQ}，∴ P 為 BQ‾\overline{BQ} 中點，即 BP‾=PQ‾\overline{BP}=\overline{PQ}……②
由①、②得知 BP‾=PQ‾=CQ‾\overline{BP}=\overline{PQ}=\overline{CQ}，故 CP‾=2BP‾\overline{CP}=2\overline{BP}。看逐步解析 ↓

題目
已知：如下圖，△ABC中，M為AC‾\overline{AC}的中點，N為BM‾\overline{BM}的中點，直線AN交BC‾\overline{BC}於P點。
求證：CP‾=2BP‾\overline{CP}=2\overline{BP}。
三角形ABC，A在上方頂點、B在左下、C在右下。M標於邊AC上（AC中點附近，偏右上方）。畫出線段BM（由B到M）；N點標示在線段BM上（介於B、M之間，偏B這一側）。另畫出一條由A出發、經過N附近、延伸到線段BC上的線段，該線段與BC的交點標示為P（P在B、C之間，偏B這一側）。三邊AB、BC、CA皆以直線畫出。

逐步解析

  1. 1

    作輔助線

    過 MM 點作 MQ‾∥AP‾\overline{MQ}\parallel\overline{AP}，交 BC‾\overline{BC} 於 QQ，QQ 在 PP、CC 之間。
  2. 2

    在 △ACP 中得①

    在 △ACP 中：<br>∵ MM 為 AC‾\overline{AC} 中點，且 MQ‾∥AP‾\overline{MQ}\parallel\overline{AP}，<br>∴ QQ 為 CP‾\overline{CP} 中點（過三角形一邊中點且平行另一邊的直線，必平分第三邊），<br>即 CQ‾=PQ‾\overline{CQ}=\overline{PQ}……①
  3. 3

    在 △BQM 中得②

    在 △BQM 中：<br>∵ NN 為 BM‾\overline{BM} 中點，又 NN、PP 都在直線 APAP 上，所以 NP‾∥MQ‾\overline{NP}\parallel\overline{MQ}，<br>∴ PP 為 BQ‾\overline{BQ} 中點（過三角形一邊中點且平行另一邊的直線，必平分第三邊），<br>即 BP‾=PQ‾\overline{BP}=\overline{PQ}……②
  4. 4

    合併得證

    由①、②得 BP‾=PQ‾=CQ‾\overline{BP}=\overline{PQ}=\overline{CQ}，<br>所以 CP‾=PQ‾+CQ‾=2BP‾\overline{CP}=\overline{PQ}+\overline{CQ}=2\overline{BP}，得證。
答案
過 M 點作 MQ‾∥AP‾\overline{MQ}\parallel\overline{AP}（Q 在 BC‾\overline{BC} 上，介於 P、C 之間）。
在 △ACP 中，∵ M 為 AC‾\overline{AC} 中點，且 MQ‾∥AP‾\overline{MQ}\parallel\overline{AP}，∴ Q 為 CP‾\overline{CP} 中點，即 CQ‾=PQ‾\overline{CQ}=\overline{PQ}……①
在 △BQM 中，∵ N 為 BM‾\overline{BM} 中點，又 NP‾∥MQ‾\overline{NP}\parallel\overline{MQ}，∴ P 為 BQ‾\overline{BQ} 中點，即 BP‾=PQ‾\overline{BP}=\overline{PQ}……②
由①、②得知 BP‾=PQ‾=CQ‾\overline{BP}=\overline{PQ}=\overline{CQ}，故 CP‾=2BP‾\overline{CP}=2\overline{BP}。

關鍵觀念：#三角形中點連線性質 #平行線

常見卡點
最常見的失分是只憑圖量長度，或寫了 CQ‾=PQ‾\overline{CQ}=\overline{PQ} 卻沒寫出所用的定理。第二次用中點定理時，要先說明 NP‾∥MQ‾\overline{NP}\parallel\overline{MQ} 的理由：NN、PP 都在 AP‾\overline{AP} 上，而 MQ‾∥AP‾\overline{MQ}\parallel\overline{AP}。每一步都要有「因為、所以」。最後別忘了把兩個結果合併寫出結論。

還是卡住嗎？

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