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110學年新莊國中第3次段考數學 第18題 詳解

菱形對角線與重心距離求面積 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
如圖5，菱形ABCD中，E、F兩點分別為△ABD及△CBD的重心，若EF‾=9\overline{EF}=9、BD‾=12\overline{BD}=12，則菱形ABCD的面積為多少？
(A) 72　(B) 96　(C) 108　(D) 162
菱形（四邊等長的四邊形）ABCD，整個菱形以灰色填滿。A在最上方頂點、C在最下方頂點、B在左側頂點、D在右側頂點。只以細線畫出水平對角線BD；另有一小段鉛直細線連接E、F兩點，通過BD中點（菱形中心），A到E、F到C之間沒有畫線。E在中心與A之間（以黑點標示），F在中心與C之間（以黑點標示）。

答案(D)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    重心在對角線上

    菱形的對角線互相垂直平分，設交點為 OO，則 OO 是 BD‾\overline{BD} 中點。<br>在 △ABD 中，AO‾\overline{AO} 是中線，重心 EE 在 AO‾\overline{AO} 上，且 AE‾:EO‾=2:1\overline{AE}:\overline{EO}=2:1，所以 EO‾=13AO‾\overline{EO}=\dfrac13\overline{AO}。同理 OF‾=13OC‾\overline{OF}=\dfrac13\overline{OC}。
  2. 2

    由 EF 求 AC

    EF‾=EO‾+OF‾=13(AO‾+OC‾)=13AC‾\overline{EF}=\overline{EO}+\overline{OF}=\dfrac13(\overline{AO}+\overline{OC})=\dfrac13\overline{AC}。<br>9=13AC‾9=\dfrac13\overline{AC}，得 AC‾=27\overline{AC}=27。
  3. 3

    菱形面積

    菱形面積 =12×AC‾×BD‾=12×27×12=162=\dfrac12\times\overline{AC}\times\overline{BD}=\dfrac12\times27\times12=162，故選 (D)。
答案
(D)

關鍵觀念：#菱形 #重心 #面積 #對角線

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常見卡點
容易把重心當成 AO‾\overline{AO}、OC‾\overline{OC} 的中點，以為 EF‾=12AC‾\overline{EF}=\dfrac12\overline{AC}，得 AC‾=18\overline{AC}=18，面積 12×18×12=108\dfrac12\times18\times12=108 而誤選 (C)。重心離對邊中點 OO 只有中線的 13\dfrac13，所以 EF‾\overline{EF} 只占 AC‾\overline{AC} 的 13\dfrac13。另外，菱形面積是對角線乘積的一半，別忘了除以 22。

還是卡住嗎？

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