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110學年新莊國中第3次段考數學 第19題 詳解

角平分線交角求解 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
如圖6，△ABC中，AP‾\overline{AP}、BP‾\overline{BP}分別為∠BAC、∠ABC的角平分線，若∠C=50°，則∠APB=?
(A) 105°　(B) 110°　(C) 115°　(D) 120°
三角形ABC，A在上方頂點、B在左下、C在右下，三邊AB、BC、AC以直線畫出。另畫出兩條內部線段：由A到三角形內部一點P，以及由B到同一點P；P的位置在三角形內部偏右上方（靠近A與C之間）。圖上沒有畫出P到C的連線。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    用角平分線寫出兩半

    AP‾\overline{AP}、BP‾\overline{BP} 分別平分 ∠BAC、∠ABC，所以 ∠PAB=12∠BAC\angle PAB=\dfrac12\angle BAC、∠PBA=12∠ABC\angle PBA=\dfrac12\angle ABC。<br>∠BAC+∠ABC=180∘−50∘=130∘\angle BAC+\angle ABC=180^\circ-50^\circ=130^\circ。
  2. 2

    在 △APB 中求角

    ∠PAB+∠PBA=12×130∘=65∘\angle PAB+\angle PBA=\dfrac12\times130^\circ=65^\circ。<br>∠APB=180∘−65∘=115∘\angle APB=180^\circ-65^\circ=115^\circ，故選 (C)。<br>補充：PP 是兩內角平分線的交點，也就是內心，這正是 ∠APB=90∘+12∠C\angle APB=90^\circ+\dfrac12\angle C。
答案
(C)

關鍵觀念：#三角形 #角平分線 #角度計算 #內心

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常見卡點
常見錯誤是忘了取一半，直接用 180∘−130∘=50∘180^\circ-130^\circ=50^\circ，或把公式記成 90∘+∠C=140∘90^\circ+\angle C=140^\circ，兩者都不在選項中。與其硬背 90∘+12∠C90^\circ+\dfrac12\angle C，不如每次在 △APB 裡用內角和推一次，不容易出錯。兩條角平分線的交點就是內心，這個角一定大於九十度，可用來檢查。

還是卡住嗎？

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