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110學年新莊國中第3次段考數學 第20題 詳解

中垂線與中點四邊形面積 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
如圖7，AC‾\overline{AC}是BD‾\overline{BD}的中垂線，E為AB‾\overline{AB}中點，若BD‾=6\overline{BD}=6，AB‾=5\overline{AB}=5，則四邊形BCFE的面積是多少？
(A) 4　(B) 5　(C) 6　(D) 7
以B、C、D三點由左至右畫在同一條水平線上（C在B與D之間），A在上方。畫出線段AB、AC（圖上沒有畫AD）：AC呈鉛直方向，AC與BD的交點C處標有直角記號。另有一點E，位於線段AB上（介於A、B之間）；由E畫出一條線段向右下延伸，與AC相交於F點（F在AC上、A與C之間），再繼續延伸到D點，即E、F、D三點以一條直線相連。

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    由中垂線讀出條件

    AC‾\overline{AC} 是 BD‾\overline{BD} 的中垂線，所以 CC 是 BD‾\overline{BD} 中點、AC‾⊥BD‾\overline{AC}\perp\overline{BD}，BC‾=CD‾=3\overline{BC}=\overline{CD}=3。<br>直角 △ABC 中，AC‾=52−32=4\overline{AC}=\sqrt{5^2-3^2}=4。
  2. 2

    F 是重心

    由圖，EE、FF、DD 三點共線，FF 是 DE‾\overline{DE} 與 AC‾\overline{AC} 的交點。<br>在 △ABD 中，EE 是 AB‾\overline{AB} 中點，DE‾\overline{DE} 是中線；CC 是 BD‾\overline{BD} 中點，AC‾\overline{AC} 也是中線。所以 FF 是 △ABD 的重心，CF‾=13AC‾=43\overline{CF}=\dfrac13\overline{AC}=\dfrac43。
  3. 3

    算 △BDE

    EE 是 AB‾\overline{AB} 中點，EE 到 BD‾\overline{BD} 的距離是 AA 到 BD‾\overline{BD} 距離 AC‾\overline{AC} 的一半，即 22。<br>△BDE 面積 =12×6×2=6=\dfrac12\times6\times2=6。
  4. 4

    扣掉 △CDF

    △CDF 面積 =12×CD‾×CF‾=12×3×43=2=\dfrac12\times\overline{CD}\times\overline{CF}=\dfrac12\times3\times\dfrac43=2。<br>四邊形 BCFE == △BDE −- △CDF =6−2=4=6-2=4，故選 (A)。
答案
(A)

關鍵觀念：#中垂線 #中點 #四邊形面積 #重心 #商高定理

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常見卡點
容易沒看出 FF 是重心，憑圖以為 FF 是 AC‾\overline{AC} 的中點，取 CF‾=2\overline{CF}=2，得 △CDF =3=3、四邊形 =6−3=3=6-3=3，不在選項中。DE‾\overline{DE}、AC‾\overline{AC} 都是 △ABD 的中線，交點是重心，CF‾\overline{CF} 只有 AC‾\overline{AC} 的 13\dfrac13。共線要從圖讀出來，題幹沒寫。

還是卡住嗎？

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